1 质点运动的描述

1吴运铨13705081415QQ群：140554993注：加入时请注明专业姓名，入群后修改自己的群名片2矢量代数的基本知识3例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。标量只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，解析表示矢量的几种表示方式：几何表示直角坐标系kAjAiAAzyx矢量的模||AA222zyxAAAkji,,表示沿x，y，z轴的单位矢量。AxyzoxAyAzA——有指向的线段。4AxyzoxAyAzA矢量方向：设矢量与x，y，z三轴的夹角为、、。,cosAAx,cosAAyAAzcos此三个角满足关系：1coscoscos2221.矢量的加法运算矢量的加法运算实际上是矢量的叠加，用的是平行四边形法则或三角形法则。ABCBACBAC矢量的运算法则：5(1)矢量的点乘（标积）矢量的减法运算是加法运算的逆运算。2.矢量的减法运算3.矢量的乘法运算cos||||BABA结论：两个矢量点乘的结果得到的是标量，它只有大小，没有方向。是的夹角。BA与直角坐标系：,kAjAiAAzyxkBjBiBBzyx)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxzzyyxxBABABA特殊：,AdAAdA;0BABABACBAC6结论：两个矢量叉乘得到的结果仍然是一个矢量。Ate的方向：垂直于由、所构成的平面，并且跟矢量、形成右手螺旋关系：BAB伸出右手，使手平面垂直、所构成的平面，然后四指沿着矢量的方向，经过小于180的角转到矢量的方向，此时姆指指示的方向，就是矢量的方向。teABABAB强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，大家一定要把符号搞清楚，不要混淆。(2)矢量的叉乘（矢量积）teBABAsin||||是的夹角。BA与te是一个单位矢量。te75.矢量的积分对矢量我们不能直接积分，应该先把矢量投影到x、y、z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各分量值进行矢量合成。,xxdAAkAjAiAAzyx,yydAAzzdAA4.矢量的求导)(kAjAiAdtddtAdzyxkdtdAjdtdAidtdAzyx)()()(kAdtdjAdtdiAdtdzyxAdA8第一章质点运动时间空间9力学：研究物体机械运动及其规律的学科。机械运动：一个物体相对于另一个物体的空间位置随时间发生变化；或一个物体的某一部分相对于其另一部分的位置随时间而发生变化的运动。运动学：动力学：以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。10§1.1质点运动的描述之一1.1.1参考系和坐标系•描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。•物质的运动具有绝对性坐标系：参考系：为描述物体的运动而选取的参考物体。常用坐标系：直角坐标系（x,y,z）；球坐标系（r,θ,）柱坐标系（,,z）；自然坐标系(s)111.1.2质点质点:只有质量而没有大小和形状的理想物体。一个物体能否看作质点，它的唯一标准是物体的形状、大小与所研究的问题是否无关。如果物体运动范围远大于物体本身线度时，该物体可视为质点。121.1.3描述质点运动的物理量一位置矢量运动方程1.位置矢量（位矢）),,(zyxPrxyzo从原点O向质点P所在位置画一矢量来表示质点位置。kzjyixrr称为位置矢量，简称位矢。位矢用坐标值表示为：kji,,表示沿x，y，z轴的单位矢量。xyz位矢的大小：222||zyxrr13位矢的方向：,cosrx,cosryrzcos),,(zyxPrxyzo)(rtr称为运动方程2.运动方程矢量形式：ktzjtyitxtr)()()()()(txx)(tyy)(tzz分量式：质点运动时在空间所经历的实际路径叫做运动轨道，相应的曲线方程称为轨道方程。在运动方程中，消去t即得轨道方程：f(x,y,z)=0。3.轨道方程14二位移路程1.位移A1rxyzoB2rrt时刻，A点位矢为1rt+Δt时刻在B点位矢为2rAB位移：12rrr在t时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线段）称为位移。在直角坐标系中：12rrrkzjyix位移的大小：222)()()(||zyxr15强调：位移的大小只能写成：，不能写成或。||rr||r||||12rrr1212||||||rrrrrr位矢大小的增量质点位矢增量的大小（位移的长度）同理：drrd||2.路程sr路程s：物体在Δt内走过的轨道的长度。AB一般情况下，||rs||limlim00rstt||rdds即：在t趋近于零的极限情况下，16三速度速率1.平均速度A1rxyzoB2rrtB时刻位于B点在t时间内发生位移：设质点做一般曲线运动tA时刻位于A点12rrr在t时间间隔内的平均速度：trv平均速度可“近似”地描述质点在t时刻附近运动的快慢和方向。172.速度trvt0lim瞬时速度（速度）：dtrd单位：m/s质点在某时刻的瞬时速度等于在该时刻位置矢量对时间的变化率。方向：沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向。大小：||||dtrdvvAAv在直角坐标系中：kvjvivvzyx,dtdxvx,dtdyvydtdzvzzyxvvv,,为速度在x，y，z方向的分量。222||zyxvvvdtrdv183.速率平均速率：路程s和走过这段路程所用的时间t的比值。tsv瞬时速率：dtdstsvt0lim即：速率为速度的大小，||vdtrddtdsv一般情况：vvsr因此当t0时：|,|rdds19四加速度1.平均加速度t时间内，速度增量为：12vvvt1时刻，质点速为t2时刻，质点速度为1v2vABv1v2v描写质点速度变化快慢和方向的物理量。平均加速度：tva||||tva大小：方向：的方向。v202.加速度dtvdadtrdv由可得：22dtrddtvdtvat0lim加速度：单位：米/秒2，m/s2大小：dtvdaa加速度为速度对时间的变化率。方向：t0时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。atva21在直角坐标系中：,22dtxddtdvaxxkajaiaazyx,22dtyddtdvayy22dtzddtdvazzdtvda22dtrd222zyxaaaa描述质点运动的四个基本物理量：a,v,r,r描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点运动的状态参量。v,r表示t时间内质点位置的变化，为速度的瞬时变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。raax、ay、az为加速度在x、y、z方向的分量。221.1.4运动学两类问题运动方程是运动学问题的核心。实际的运动学问题中，有两种基本类型：1.已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度22)(dtrddtvdadtrdvtrr2.已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程ttvvdtavd,dtavd00ttrrdtvrd,dtvrd0023解：求质点在头两秒的位移和平均加速度。jtitr)6(32例：用矢量表示二维运动，设jtitdtrdv2320202rrrjivvv1240202jitva6202jji)6(24ji8424hHx1xxHxhH11xhHHxdtdxvdtdxvM,100vhHHvM解：设任意时刻t，人所在的点的坐标为x1，其头顶在地面的投影点M的坐标为x，例：如图，路灯距地面高H，一身高h的人在灯下以匀速v0沿直线行走。求其头顶在地面的影子的移动速度。由几何关系25例：一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和运动的距离。00taaa依题意，加速度和时间的关系为：解：直线运动中可用标量代替矢量20000002)(tatadttaaadtvttvdtdxdtdxv30200020062)2(tatadttatavdtxttdtdvaadtdv26§1.2质点运动的描述之二1.2.1切向加速度和法向加速度质点P沿已知的平面轨道运动。将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点O作为坐标原点。质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长度s来表示，s称为自然坐标。运动方程：)(tss在质点上建立自然坐标系：•切向坐标沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；te•法向坐标沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。ne27根据加速度的定义，有：dtvdadtevdt)(dtedvedtdvtt的大小为质点速率的变化率，其方向指向曲线的切线方向。tedtdv切向加速度：ttteaedtdvat?dtedvtdtdvat其值可正可负。ttedtdsevvte为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。在自然坐标系中速度可表示为：ABAvBv28在t很小并趋于零时，有：t+Δt时刻，速度单位矢量为tet时刻，速度单位矢量为：tete增量为：ttteeedteteted在t趋于零时，的方向跟垂直并指向圆心，即指向圆周轨道的法向的方向。tedtenentededdeedtt||||ddtedsddotepPne可改写为：dtedvtdtedvdtedvnt)(nedtdv29可改写为：dtedvtdtedvdtedvnt)(nedtdvtedsddotepPne设轨道在P点的曲率半径为，,ddsntedtdvdtedvnedtdsdsdvdtdsvnev2法向加速度：nnnneaeva22van30综上所述：ntevedtdv2可以将加速度分解为切向和法向两个分量。nntteaea切向加速度反映了速度大小变化的快慢。法向加速度反映了速度方向的变化。22ntaaa加速度的大小：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：tnaaθarctannataadtedvedtdvatt311.2.2圆周运动的角量描述ABsRxyO质点所在的矢径与x轴的夹角。角位移：角位置：质点从A到B矢径转过的角度。规定：逆时针转向为正顺时针转向为负质点的圆周运动，除了用位矢、位移、速度和加速度等所谓的线量来描述外，也常用角量来描述。运动方程：)(t在国际单位制中，角位置和角位移的单位为rad。32角速度：dtdtt0lim角加速度：dtdωΔtΔωt0lim