第十一节 第三课时 导数与函数的综合问题

第三课时导数与函数的综合问题考点一利用导数研究生活中的优化问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．第三课时导数与函数的综合问题第三课时导数与函数的综合问题解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．第三课时导数与函数的综合问题(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．第三课时导数与函数的综合问题[类题通法]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．第三课时导数与函数的综合问题[演练冲关]某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．第三课时导数与函数的综合问题解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：第三课时导数与函数的综合问题x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．第三课时导数与函数的综合问题考点二利用导数研究函数的零点或方程的根(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－2a＝－2，所以a＝1.第三课时导数与函数的综合问题(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－10，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)xh(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．第三课时导数与函数的综合问题[类题通法]利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．第三课时导数与函数的综合问题[演练冲关]已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋lnx)＋a.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间0，12上无零点，求a的最小值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2lnx，则f′(x)＝1－2x，定义域x∈(0，＋∞)．由f′(x)＞0，得x＞2，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，故f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)，第三课时导数与函数的综合问题(2)f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx，令m(x)＝(2－a)(x－1)，x＞0；h(x)＝2lnx，x＞0，则f(x)＝m(x)－h(x)，①当a＜2时，m(x)在0，12上为增函数，h(x)在0，12上为增函数，若f(x)在0，12上无零点，则m12≥h12，即(2－a)12－1≥2ln12，∴a≥2－4ln2，∴2－4ln2≤a2，②当a≥2时，在0，12上m(x)≥0，h(x)＜0，∴f(x)＞0，∴f(x)在0，12上无零点．由①②得a≥2－4ln2，∴amin＝2－4ln2.第三课时导数与函数的综合问题考点三利用导数研究与不等式有关的问题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题.第三课时导数与函数的综合问题角度一：证明不等式1．(2015·唐山一模)已知f(x)＝(1－x)ex－1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)＝fxx，x＞－1，且x≠0，证明：g(x)＜1.解：(1)f′(x)＝－xex.当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0.第三课时导数与函数的综合问题(2)证明：由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1.当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x.设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.当x∈(－1,0)时，0＜－x＜1,0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，从而当x∈(－1,0)时，h′(x)＜0，h(x)在(－1,0]上单调递减．当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.综上，总有g(x)＜1.第三课时导数与函数的综合问题角度二：不等式恒成立问题2．已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，lnx＞1ex－2ex恒成立．第三课时导数与函数的综合问题解：(1)由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2lnx＋x＋3x，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x＞0)，则h′(x)＝x＋3x－1x2，①当x∈(0,1)时，h′(x)0，h(x)单调递减，②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即实数a的取值范围是(－∞，4]第三课时导数与函数的综合问题(2)证明：问题等价于证明xlnxxex－2e(x∈(0，＋∞))．又f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1，当x∈0，1e时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈1e，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f1e＝－1e.设m(x)＝xex－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xex，易知m(x)max＝m(1)＝－1e，从而对一切x∈(0，＋∞)，lnx＞1ex－2ex恒成立．第三课时导数与函数的综合问题角度三：存在型不等式成立问题3．(2015·新乡调研)已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－ax(a∈R)，g(x)＝12x2＋ex－xex.(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围．第三课时导数与函数的综合问题解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x－ax2.①当a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)≥0，f(x)为增函数，f(x)min＝f(1)＝1－a.②当1ae时，x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)为增函数．所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)lna－1.第三课时导数与函数的综合问题③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数．f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－ae.综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；当1ae时，f(x)min＝a－(a＋1)lna－1；当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－ae.第三课时导数与函数的综合问题(2)由题意知：f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2,0])的最小值．由(1)知f(x)在[e，e2]上单调递增，f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－ae.g′(x)＝(1－ex)x.当x∈[－2,0]时g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min＝g(0)＝1，所以e－(a＋1)－ae1，即ae2－2ee＋1，所以a的取值范围为e2－2ee＋1，1.第三课时导数与函数的综合问题[类题通法]导数在不等式问题中的应用问题解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．第三课时导数与函数的综合问题(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．第三课时导数与函数的综合问题“课后演练提能”见“课时跟踪检测(十六)”(单击进入电子文档)“板块命题点专练（四）”(单击进入电子文档)谢谢观看