2017年数三真题与解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数在处连续，则（）【答案】A【解析】在处连续(2)二元函数的极值点（）(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】(3)设函数可导，且则（）(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】或，只有C选项满足且满足，所以选C。(4)若级数收敛，则(A)1(B)2(C)-1(D)-2【解析】(5)设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）(A)不可逆(B)不可逆(C)不可逆(D)不可逆【答案】A【解析】选项A,由得有非零解，故.即不可逆.选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵，则(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1.因为，∴A可相似对角化，且.由可知B特征值为2,2,1.因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴，且B不相似于C.(7)设为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充要条件是(A)与相互独立(B)与互不相容(C)与相互独立(D)与互不相容【答案】C【解析】(8)设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是：(A)服从分布(B)服从分布(C)服从分布(D)服从分布【答案】B【解析】由于找不正确的结论，故B符合题意.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。(9)_________.【解析】(10)差分方程的通解【解析】代入原方程得.(11)设生产某产品的平均成本，其中为产量，则边际成本为_________.【解析】.(12)设函数具有一阶连续偏导数，且，则_________.【解析】(13)设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为_________.【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故再由得(14)设随机变量的概率分布为，，若则.【解析】三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求【解析】..(16)计算积分，其中D是第一象限中曲线与x轴边界的无界区域.【解析】.(17)求.【解析】.(18)已知方程在区间内有实根，求k的范围.【解析】(19)若，，，为幂级数的和函数.(1)证明的收敛半径不小于1(2)证明，并求的表达式【解析】（1）;.（2）..(20)设2阶矩阵有3个不同的特征值，且.（I）证;(II),求的通解.【解析】（I）证明：由可得，即线性相关，因此，，即A的特征值必有0.又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为∴（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量.由可得，则的基础解系为.又，即，则的一个特解为.综上，的通解为.(21)设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【解析】，其中.由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则，由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；由，可得A的属于特征值6的特征向量为由，可得A的属于特征值0的特征向量为令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：则，..(22)设随机变量相互独立，且的概率分布为，的概率密度为.求;求的概率密度.【解析】（1）当，而，则；（2）当即时，；（3）当时，；（4）当时，；（5）当时，.所以综上所以.(23)（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立，且均服从正态分布，该工程师记录的是n次测量的绝对误差，利用估计(I)求的概率密度；(II)利用一阶矩求的矩估计量；(III)求的最大似然估计量.【解析】当;当;当时，.综上令.由此可得的矩估计量.(III)对总体的个样本，则相应的绝对误差的样本令其样本值为则对应的似然函数两边取对数，当时.令，所以，为所求的最大似然估计.