函数的周期性与对称性说课讲义

函数的周期性与对称性新农大附中周述斌【考纲分析】1.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．2．结合正弦函数的图像，了解函数的周期性【高考题型分析】1.考查函数的对称性、周期性2.考查数形结合的思想3.考查函数与方程的思想【教学目标】知识目标（1）函数周期性定义及几个常用结论（2）函数对称性总结能力目标：提高同学观察、分析、抽象、概括、直观想象逻辑推理等方面的能力,感悟数形结合和从特殊到一般的思想方法.情感目标：通过本节课的学习感受数学形象的逻辑推理、灵动的思维训练、艺术欣赏一样的数形结合的运用重点1.函数的周期性及小结；2.函数的对称性总结难点函数对称性、周期性综合应用问题【知识网络】函数的周期性轴对称自身对称性函数周期性与对称性函数的对称性中心对称不同函数之间对称性对称性与周期性联系设计意图无论是在新课学习中，还是在高三一轮复习中，本部分知识大多数同学掌握还是很零散的，因此以知识网络的形式给出，让同学有一个整体把握，有利于同学们更好的掌握该部分知识。【知识梳理】一、周期性1、定义：对于fx定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得fxTfx恒成立，则称函数fx具有周期性，T叫做fx的一个周期，则,0kTkZk也是fx的周期，所有周期中的最小正数叫最小正周期．2、几种具有周期性的抽象函数：函数关系)(Rx周期()()fxafxa()()fxafx2a1()()fxafx2a()()fxafxa2a()()fxafxa4a1()1fxfxafx2a1()1fxfxafx4a1()1fxfxafx4a二、函数的对称性1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称综上：可以看出“内同则周期，内反则对称”．2、不同函数之间的对称性（1）轴对称函数,yfaxyfbx的图像关于直线2bax对称（由相等求出x即axbx决定）．（2）中心对称函数,yfaxyfbx的图像关于,02ba对称（由相等求出x即axbx决定）．三、对称性与周期性（1）若)(xfy的图像关于直线ax、)(babx对称，则()fx是周期函数，且周期baT2；特例：若)(xfy是偶函数且其图像关于直线ax对称，则周期aT2；内同则周期，内反则对称（2）若)(xfy关于点)0,()0,(ba、对称，则()fx是周期函数，且周期baT2；（3）若)(xfy的图像关于直线ax、对称中心(,0)()bab对称，则()fx是函数，且周期4Tab；教学背景以上的知识讲解比较抽象，建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明，一边举实例予以说明，如在讲解“三、对称性与周期性”时可举sinyx函数的对称性验证说明：其图像关于2x，32x对称，则周期32222T；图像关于0,0,,0对称，则周期202T；图像关于0,0,2x对称，则周期422T设计意图系统的给出函数轴对称、中心对称的理论，有利于学生更好的掌握函数对称性，同时给出了函数对称性与函数周期的关系，为后面综合应用打好基础。【学生探索,发展思维】例1.在R上定义的函数()fx是偶函数，且()fx(2)fx.若()fx在区间[1,2]上是减函数，则()fx()A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是减函数例2.定义在实数集上的奇函数)(xf恒满足)1()1(xfxf，且)0,1(x时，512)(xxf,则)20(log2f________．例3.（09年山东理16题）已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx,则1234_________.xxxx设计意图前两个小题是高考中中档题，让学生体验函数周期性与对称性的简单应用，第三个小题是高考中压轴难度小题，是函数性质的综合应用，让学生体验学以至用，是一个内化所学的过程。【知识应用,巩固提高】例4.（2016全国2卷理第12题）已知函数))((Rxxf满足)(2)(xfxf,若函数xxy1与)(xfy图像的交点为)(1,1yx,),(22yx···，（mmyx,），则miiiyx1)(（A）0（B）m（C）2m（D）4m设计意图在前面练习的基础之上，让同学独立思考、分组讨论，最终形成利用函数周期性、对称性去这类综合题目的能力。【板书设计】函数的周期性与对称性1.函数的周期性定义及相关结论2.函数对称性3.函数的周期性与对称性的关系例3例4（复习知识）1、总结2、练习3、布置作业课后作业1.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－1C．0D．12.函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．3.已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2015)的值为()A．2B．0C．－2D．±24.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．5.(2013年乌市二模第10题)若定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，且当0x≤1时，𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑥,则方程3f(x)+1=f(0)在区间(2012,2014)内所有实根之和为A.4022B.4024C.4026D.4028[2,1][3,4][2,1][3,4]