第八章立体几何8.2空间几何体的表面积体积

洪老师的高考必备资料库特供-1-§8.2空间几何体的表面积、体积考纲展示►1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积，了解计算公式．2．会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．考点1几何体的表面积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积圆柱S侧＝________圆锥S侧＝________圆台S侧＝π(r1＋r2)l直棱柱S侧＝________正棱锥S侧＝________正棱台S侧＝12(c＋c′)h′球S球面＝________答案：2πrhπrlCh12Ch′4πR22．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________；它们的表面积等于________与底面面积之和．答案：(1)各面面积之和(2)矩形扇形扇环侧面积侧面展开图：关注展开图的形状．(1)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积等于________．答案：2π解析：圆锥的母线长为32＋12＝2，故所求侧面积S＝12×2×π×2＝2π.洪老师的高考必备资料库特供-2-(2)圆台的上下底面圆的半径分别为1,2，高为1，则圆台的侧面积等于________．答案：32π解析：圆台的母线长为－2＋12＝2，所以所求侧面积S＝π(1＋2)×2＝32π.[典题1](1)[2017·湖北七校联考]如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A．1B．2C.12D.14[答案]B[解析]由题意知，三棱锥P－ABC的正视图是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当P在底面ABCD内的投影在△ABC的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为12，此时，三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选B.(2)[2015·新课标全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()洪老师的高考必备资料库特供-3-A．1B．2C．4D．8[答案]B[解析]如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.[点石成金]求解几何体面积的常见策略(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.[2017·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()洪老师的高考必备资料库特供-4-A．4π＋16＋43B．5π＋16＋43C．4π＋16＋23D．5π＋16＋23答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2×12×2×3＝23；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2×12×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23，故选D.2．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为________．答案：11π2＋33解析：这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝12π×12＋12π×22＋12洪老师的高考必备资料库特供-5-π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋33.考点2几何体的体积体积圆柱V＝________＝πr2h圆锥V＝________＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱V＝________正棱锥V＝________正棱台V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球V＝43πR3答案：Sh13ShSh13Sh空间几何体表面积和体积的求解：公式法．(1)圆柱的底面半径为1，高为22，若该圆柱内接于球O，则球O的表面积是________．答案：12π解析：过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在该截面图中，易求得球O的半径R＝12＋22＝3，所以球O的表面积S＝4πR2＝12π.(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱长之和为12，表面积为6，则其体积为________．答案：1洪老师的高考必备资料库特供-6-解析：设该直四棱柱的底面边长为a，高为b，则有8a＋4b＝12，2a2＋4ab＝6，即2a＋b＝3，a2＋2ab＝3，解得a＝1，b＝1.角度一以三视图为背景的几何体的体积[典题2](1)[2017·河北石家庄一模]某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是()A．4B.163C.203D．12[答案]B[解析]由三视图可得，该几何体是一个五面体ABHGEF(如图)，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝2，D1E＝FC1＝DG＝HC＝1，连接AF，AH，则该几何体的体积是VA－EFHG＋VF－ABH＝13×22×2＋13×12×4×2×2＝163.洪老师的高考必备资料库特供-7-(2)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A.203B.403C．20D．40[答案]B[解析]由几何体的三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为13×12(1＋4)×4×4＝403.角度二求几何体的体积[典题3]如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()洪老师的高考必备资料库特供-8-A.23B.33C.43D.32[答案]A[解析]如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，∴S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.[点石成金]空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．考点3与球有关的切、接问题洪老师的高考必备资料库特供-9-几个与球有关的切、接常用结论a．正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[典题4](1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22[答案]A[解析]设△ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1|＝OC2－O1C2＝1－13＝63.三棱锥S－ABC的高为2|OO1|＝263.所以三棱锥S－ABC的体积V＝13×34×263＝26.故选A.(2)[2017·辽宁抚顺模拟]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB洪老师的高考必备资料库特供-10-＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310[答案]C[解析]如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.[题点发散1]本例(2)若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.[题点发散2]本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝洪老师的高考必备资料库特供-11-63π.[题点发散3]本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为22－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.[点石成金]1.正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线的长．此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．2．直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．3．若正四面体的高为h，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，则r＝14h，R＝34h.4．球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．5．球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.[2017·江西师大附中模拟]已知边长为23的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．答案：28π解析：如图①，取BD的中点E，连接AE，CE.由已知条件可知，平面ACE⊥平面BCD.易知外接球球心在平面ACE内，如图②，在CE上取点G.使CG＝2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OA＝OC，易知O即为球心．分别解△OCG，△EGO，可得R＝OC＝7，∴外接球的表面积为28π.洪老师的高考必备资料库特供-12-①②真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB.9π2C．6πD.32π3答案：B解析：由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝32，该球的体积最大，Vmax＝43πR3＝4π3×278＝9π2.2．[2015·安徽卷]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()洪老师的高考必备资料库特供-13-A．1＋3B．2＋3C．1＋22D．22答案：B解析：根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC