间接效用函数与支出函数

第二讲间接效用函数与支出函数第二讲解出反函数m解出反函数u代入),(upem=代入),(mpvu=代入间接效用函数（支出函数）得出目标函数pxxmin)(..xuts)(maxxuxmts..间接效用函数：),(mpv支出函数：),(upe希克斯需求函数：),(uph马歇尔需求函数：),(mpx谢泼特引理：iipeuph∂∂=),(mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(罗尔恒等式：代入目标函数代入目标函数1)(maxxux..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(ln),(221121xpxpmxxx−−++=λαλψ0111=−=∂∂pxxλαψ（1）0122=−=∂∂pxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由()()21得马歇尔需求函数：121ppxα=;因为为常数，把之代入（3）式得：1x222ppmxα−=2-11-11/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数1x2x21lnxxu+=α2211xpxpm+=121ppxα=效用函数为拟线性曲线21)(xxvu+=可知，其中1x的需求为固定的，也就是说1x的收入份额是一定的，而其余的钱为花在2x上。•••把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2212lnlnln),(ppmpppmvααααα−+−+=根据罗尔恒等式：mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(会得出同样的马歇尔需求函数：122111/1///),(ppppmvpvmpxαα=−−=∂∂∂∂−=[]222222222/1/)(//),(ppmpppmpmvpvmpxαααα−=−−−−=∂∂∂∂−=2)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(2211221xpxpmxxx−−+=λλψ021211=−=∂∂pxxxλψ（1）02212=−=∂∂pxxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:12212pxpx=;21122pxpx=把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：1132),(pmmpx=；223),(pmmpx=2-11-21/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2213334),(ppmmpv=2211minxpxpx+..ts221)(xxxu=构造拉氏方程：)(),(2212211xxuxpxpx−++=λλψ022111=−=∂∂xxpxλψ（1）02122=−=∂∂xpxλψ（2）0221=−=∂∂xxuλψ（3）由)2()1(得:12212pxpx=;21122pxpx=把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：311212),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph；31222214),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：()31221312213122212311214242),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=puppuppupppuppupe312143),(2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupupe也可根据间接效用函数与支出函数互为倒函数的关系直接得出：⇒=2213334),(ppmmpv⇒=⋅3221343),(mppmpv312143),(2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupupe3根据罗尔恒等式：mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(会得出马歇尔需求函数：)(//),(*21ppmmvpvmpxiii+=∂∂∂∂−=2-11-31/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数4)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(221121xpxpmxxx−−+=λλψ0121=−=∂∂pxxλψ（1）0212=−=∂∂pxxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:1221pxpx=;2112pxpx=把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：112),(pmmpx=；222),(pmmpx=把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2124),(ppmmpv=把题设条件的三城市的价格代入间接效用函数得：bbbaaappmmpvppmmpv2122124),(4),(===abbabbaacppppppppmmpv212121212),(+++=由条件；又由定理nppppbbaa==212121;0≥+xxx可知，主要是比较分母中的后两项，同时除以得：),(mpvcnppppbbaa==2121abaabapppppp222121=；babbabpppppp222121=则：22222≥+baabpppp也就是说：≥+=+==+baababbabbaabbabaabappppnppnppnpppppppppppp2222212121212121212122121212121212121=+==+nppnppnppppppppppppbbaabbaabbbbaaaa2-11-41/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数所以：bbaaabbapppppppp21212121+≥+),(),(),(mpvmpvmpvcba≥=这个退休老人在有一固定收入的前提下，想效用最大化，他会选择生活在北京或上海。5（1）2211minxpxpx+..ts21)(xxxu=构造拉氏方程：))((),(212211xxxuxpxpx−++=λλψ0211=−=∂∂xpxλψ（1）0122=−=∂∂xpxλψ（2）0)(21=−=∂∂xxxuλψ（3）由)2()1(得:1221pxpx=;2112pxpx=把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：21121),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph；21212),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：()21212),(pupmpe=（2）设())(lnxuxu=′2211minxpxpx+..ts21lnlnlnxxu+=构造拉氏方程：)lnln(ln),(212211xxuxpxpx−−++=λλψ0111=−=∂∂xpxλψ（1）0222=−=∂∂xpxλψ（2）2-11-51/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数0lnlnln21=−−=∂∂xxuλψ（3）由)2()1(得:1221pxpx=;2112pxpx=把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：21121),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph；21212),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：()2121)(2),(ppxumpe=（3）因为效用函数没有任何经济意义，只是为不同的消费组合排序，所以任何一个效用函数的单调变化不会改变消费组合的排序，由此可看出消费者的效用函数不是唯一的。（蒋殿春高级微观经济学经济管理出版社p61-62）6αα−=121),(ppmmpv根据间接效用函数和支出函数之间的关系为互为反函数；即根据对偶性原理：[]uupepvmpv==),(,),(则题中的式子变为：[]uppupeupepv==−αα121),(),(,αα−=121),(pupupe谢泼特引理iipxupeuph∂∂=))(,(),(可知：αααα−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∂∂=∂∂=112112111)(),(),(ppuppuppupeuph7为了让我们看得更清楚，我们写得稍慢一点：（1）)(maxxux=..tsmxpniii=∑=1构造拉氏方程：)(),(11∑∏==−+=niiiniixpmxAxiλλψα011111221=−=∂∂−pxxAxxnnλαψαααLLL(1)2-11-61/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数0111=−=∂∂−iniiipxxAxxniλαψαααLLL(2)01111=−=∂∂−jnjjjpxxAxxnjλαψαααLLL(3)0111221=−=∂∂−nnnpxxAxxnλαψαααLLL(4)01=−=∂∂∑=niiixpmλψ(5)由)3()2(得:ijjjiipxpxαα=;jiiijjpxpxαα=把上两式分别代入（5）式得:mxpxpxpxpnn=+++=+++1111211111111211)(ααααααααααLLLLLLLLLL(6)mxpiiiniiii=+++)(21ααααααααLLL(7)mxpjjjnjjjj=+++)(21ααααααααLLL(8)mxpnnnnninn=+++)(21ααααααααLLL(9)整理为马歇尔需求函数：)(),(1121111ααααααnpmmpx+++=LLLL)(),(2222122ααααααnpmmpx+++=LLLL)(),(1iniiiiipmmpxαααααα++++=LLLL)(),(21nnnnnnpmmpxαααααα+++=LLLL2-11-71/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数由此可得：∑∑====njjiinjjiiipmpmmpx11),(αααα；因为；所以11=∑=njjαiiipmmpxα=),(；我们还可以通过对其效用函数进行单调变化，进而可方便的得出其马歇尔需求函数；∑=⋅+=niiixAxu1lnln)(lnα（2）把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：∏=∑=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==niiinniniinpAmpmpmpmAmpv12211)(),(121αααααααααLLL11=∑=niiα；所以∏==niiiipAmmpv1)(),(αα（3）因为间接效用函数和支出函数之间的关系为互为反函数，根据（2）的结论∏=−=niiiipAmmpv1)(),(αα得支出函数：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∏=Apuupeniiii1),(αα（4）把支出函数两边取对数：[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=∑=niiiipAue1lnlnlnlnlnαα对求导：ipiiippeeα=∂∂⋅1根据谢泼特引理iipxupeuph∂∂=))(,(),(可知：()()∏∏+=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⋅=nijjjijjjiiijjppAupupeuph111,,ααααα()nji≤≤,1（杰弗瑞·A·杰里高级微观经济理论第二版上海财经大学出版社p60）2-11-81/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数8)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(2211121xpxpmxAxx−−+=−λλψαα0)(111=−=∂∂pxxuxλαψ（1）0)()1(222=−−=∂∂pxxuxλαψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:1221)1(pxpxαα−=;2112)1(pxpxαα−=把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：11pmxα=；22)1(pmxα−=把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：αααα−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1211),(ppAmmpv2211minxpxpx+..tsαα−=121)(xAxxu构造拉氏方程：)(),(1221121ααλλψ−−++=xAxuxpxpx0111=−=∂∂xupxλαψ（1）0)1(222=−−=∂∂xupxαλψ（2）0121=−=∂∂−ααλψxAxu（3）由)2()1(得:1221)1(pxpxαα−=;2112)1(pxpxαα−=把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：2-11-91/3/20068:11:48PM第二讲间接效用函数与支出函数ααα−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1121)1(),(ppAuuph；ααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=212)1(),(ppAuuph把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：αααα