微专题之等和线

lAQBOA1B1PlOABCC1微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】（一）平面向量共线定理已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时，1k；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；（4）当等和线过O点时，0k；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；22、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为0120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值是__________。跟踪练习：已知O为ABC的外心，若1cos3ABC，AOABAC，则的最大值为_______AOBCSMBACDQNP例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点,AB满足||||2OAOBOAOB，则点集{|,||||1,,}POPOAOBR所表示的区域面积为__________________.例3、如图，在扇形OAB中，060AOB，C为弧AB上不与,AB重合的一个动点，OCxOAyOB，若uxy(0)存在最大值，则的取值范围为__________.跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AExADyAP，则2xy的最小值为_____________.【强化训练】1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF，则xy的取值范围__________.2、如图，在平行四边形ABCD中，,MN为CD边的三等份点，S为,AMBN的交点，P为边AB上的一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN，则xy的取值范围__________.3、设,DE分别是ABC的边AB，BC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC（12,为实数），则12的值为_____________.BDOAC4、梯形ABCD中，ADAB，1ADDC，3AB，P为三角形BCD内一点（包括边界），APxAByAD，则xy的取值范围__________.5、已知||1,||3OAOB，0OAOB，点C在AOB内，且030AOC，设OCmOAnOB，则mn的值为____________.6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设ACxDEyAP，则xy的最小值为_____________.7、已知||||1OMON，(,OPxOMyONxy为实数）。若PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则xy取值的集合为_______。8、平面内有三个向量,,OAOBOC，其中,OAOB夹角为0120，,OAOC的夹角为030，且||||1OAOB，||23OC，若OCmOAnOB，则mn的值为____________________。9、如图，,,ABC是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围为___________。10、已知O为ABC的外心，若(0,0),(2,0)AB，21,3ACBAC，且AOABAC，则=________.11、已知,ab是两个互相垂直的单位向量，且1cacb，则对任意的正实数t，1||ctabt的最小值为_______________.