2018年秋北师大版数学(广东)九年级上册作业课件：2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合

第一章特殊平行四边形北师版2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用1.矩形的分割特殊性：矩形的两条对角线把它分割成四个面积相等的____________三角形，若矩形的两条对角线所夹锐角为60°，则有一对等边三角形．2.矩形折叠中求长度：一般需设未知数结合_______定理列方程求解．等腰勾股3.如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，则有：①△EBD是等腰三角形，EB＝_______；②折叠后∠ABE和∠CDE一定_______；③折叠后得到的图形是__________图形；④△EBA和_________一定是全等三角形．ED相等轴对称△EDC知识点一：矩形中的折叠问题【典例导引】【例1】如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是()A．AF＝AEB．EF＝25C．△ABE≌△AGFD．AF＝EFD【变式训练】1.(葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为()A.103B．4C．4.5DD．5知识点二：矩形的性质与判定的综合应用【典例导引】【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝8cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？解：根据题意得，CQ＝2t，AP＝4t，则BP＝24－4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB，∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，即2t＝24－4t，解得t＝4.答：当t＝4s时，四边形QPBC是矩形【变式训练】2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；(2)若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．解：(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD；∵E，F两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴BD，EF互相平分，∴四边形DEBF是平行四边形(2)∵四边形DEBF是平行四边形，∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm，∴EF＝12cm，∴OE＝OF＝6cm，∵AC＝16cm，∴OA＝OC＝8cm，∴AE＝2cm；由于动点的速度都是1cm/s，所以t＝2s，故当运动时间t＝2s时，四边形DEBF是矩形一、选择题1.(怀化中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，则AB的长是()A．3cmB．6cmC．10cmD．12cmA2.(揭西期末)如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10时，AB等于()A．10B．5C．52D．53B3.(普宁期中)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为()A．2B．2.2C．2.4D．2.5C二、填空题4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝______度．755.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E，F分别是边BC，AD上一点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为_______cm.626.(广州期末)矩形ABCD内一点P到顶点A，B，C的长分别是3，4，5，则PD＝___________．32三、解答题7.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1.已知∠ACB＝30°，AB＝1.(1)求证：△A1AD1≌△CC1B；(2)当CC1＝1时，求证：四边形ABC1D1是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，由平移得∠AA1D1＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，∴∠AA1D1＝∠ACB，BC＝A1D1，在△A1AD1与△CC1B中，AA1＝CC1，∠A1＝∠ACB，A1D1＝CB，∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)(2)∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AB＝1，∴AC＝2，∵CC1＝1，∴AC1＝1，∴△AC1B是等边三角形，∵AB＝CD＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，又AB＝BC1，∴四边形ABC1D1是菱形8.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝233，BF＝BE＝2AE＝433，∴菱形BFDE的面积为：433×2＝8339.(广东中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝23，点E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝______．3