任意角的三角函数.ppt

任意角的三角函数初中学过的锐角三角函数定义:复习回顾：如图，在直角三角形ABC中sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切。即:sinBCAABaccosACAABbctanBCAACab复习回顾：那么，当角α不是锐角时，我们必须对锐角三角函数sinα，cosα，tanα的值进行推广，才能适应任意角的需要.复习回顾：学习目标：1.掌握任意角的正弦，余弦和正切的定义；2.理解三角函数的符号；3.理解公式一，并会应用新课导入22,:barOPbMPaOM其中1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？PMOOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽POPMPOOMMOPM新课导入sinαycosxtanyx设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y叫α的正弦，即x叫α的余弦，即叫α的正切，即xyyO(,)Pxyx一、任意角的三角函数的定义:思考：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？α的终边P(x，y)Oxy一、任意角的三角函数的定义:看以看出，对应关系，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数。sinycosxtan(0)yxx一、任意角的三角函数的定义:.说明1.正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.)(2zkkxytan2.正弦、余弦总有意义.当的终边y轴上时，点P的横坐标等于0，无意义，此时3.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.说明1.任意角三角函数给了两个定义，其中定义1更具有一般性，定义2是定义1的特殊情况，定义2使用比定义1更简单。例1.如图已知角α的终边与单位圆的交点是，求角α的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解：根据任意角的三角函数定义：23sin21cos3tan例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。变式1.求的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为AOB13(,).22所以53sin,3251cos,325tan3.3例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：要求某个角的三角函数只要找出角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P220(3)(4)5.OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx400PMyMP30OMxOMOMP∽00POM例题+变式任意角三角函数定义的应用于是，;54||1sin000OPPMOPMPyy;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx例题+变式任意角三角函数定义的应用例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P【反思】：利用相似三角形转化成单位圆角的终边与单位圆的交点坐标，然后用定义来求即可可见，任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：1.,sin,sinyyrr比值叫做的正弦记为即2.,cos,cosxxrr比值叫做的余弦记为即3.,tan,tanyyxx比值叫做的正切记为即22,(,)(),(0),:Pxyrrxy设是一个任意角的终边上任意一点除端点外它与原点的距离是那么2212513r1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是，例3.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：任意角三角函数定义推广后，就不需要转化，直接用定义的推广来求解方便快捷。变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．例题+变式任意角三角函数定义的应用000.aaa：注意绝对值符号，由于，所以分和两种情况去掉绝符【反思】对值号?2sin,cos,tan.3yx.已知角的终边在直线上，求角的变的值式1解：当角的终边在第一象限时，221,2125在角的终边上取点，则r=225152sin,cos,tan255155例题+变式任意角三角函数定义的应用2sin,cos,tan.3yx.已知角的终边在直线上，求角的变的值式2当角的终边在第三象限时，221,2125r在角的终边上取点，则225152sin,cos,tan255155例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：很显然用任意角三角函数定义推广来求解。但是要注意角的终边落在直线上有两种情况，一定要分类讨论，避免漏解。sinycosytany三角函数定义域RR},2|{Zkk1.在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？思考和探究三角函数的定义域yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）+--+--++-+-2.确定三角函数值在各象限的符号思考和探究3.几个特殊角的三角函数值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα23220000000011111不存在不存在03462222112323332123思考和探究例4.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．0tan0sin①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；0sin又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.0tan因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.例题+变式任意角三角函数定义的应用如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.020360到或终边相同的角的同名三角函数值相等，即000sin360sincos360cos,tan360tankkkZk公式一如果两个角的终边相同，那么这两个角的同名三角函数值有何关系？公式一的作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.020360到或（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（3）因为=而是第一象限角，所以)672tan(tan(482360)tan48,tan(672)0;48解：（2）因为是第四象限角，所以4sin0;4例题+变式任意角三角函数定义的应用00.1cos2502sin3tan6724tan34例5确定下列三角函数值的符号：4tan3=tan(2+)=tantan3=tan（）因为ππππ，而π的终边在x轴上，所以ππ=0【反思】：先判断角所在象限，然后根据判断三角函数值的符号．92(1)coscos(2)cos;4442113(2)tan()tan(2)tan.6663解：例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数，然后用特殊角三角函数来求值.020360到或变式4.已知在第二象限,试确sin(cos)cos(sin)的符号.解:∵在第二象限,∴-1cos0,0sin1.∵--1,1,22∴-cos0,0sin.22∴sin(cos)0,cos(sin)0.∴sin(cos)cos(sin)0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：先判断cos和sin的范围，进而确定所在象限，然后根据判断三角函数值的符号．117119cossintan363例7.求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan3631131322例题+变式任意角三角函数定义的应用【反思】：利用公式一和特殊角三角函数来求值.1.（难度：易）若角α的终边经过点P(－b,4)，且cosα＝－35，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．5题目部分解：因为r＝b2＋16，所以－bb2＋16＝－35.所以b＝3.A2．(难度：简)若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解：∵0α，βπ，∴sinα0，又sinαcosβ0，∴cosβ0，∴π2βπ，故为钝角三角形．B题目部分3．(难度：易)已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π6D.11π6解：∵sin2π3＝32，cos2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tanα＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6.题目部分4．（难度：难）函数y＝tanx1＋sinx的定义域是________．解：函数定义域为x≠kπ＋π2，k∈Z，1＋sinx≠0，即x≠kπ＋π2，k∈Z，x≠2kπ＋3π2，k∈Z，解得x≠kπ＋π2，k∈Z.题目部分5．（难度：易）已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα0，cosα≤0，则a的取值范围为________．解：∵sinα0，cosα≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，且a＋20，∴－2a≤3.题目部分6．（难度：难）若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.解：∵y＝3x，sinα0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m0，n0，n＝3m.∴|OP|＝m2＋n2＝10|m|＝－10m＝10.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.题目部分7.（难度：简）求的正弦、余弦和正切值.76AOB解：在直角坐标系中，作AOB，易知的终边与单位圆的交点坐标为31(--).22，所以67,2167sin,2367cos3367tan题目部分8．（难度：易）判断下列各式sin4tan－23π4的符号：解：∵π43π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin40，tan－23π40，∴sin4tan－23π40.题目部分9．(难度：易)求函数y＝sinx|sinx|＋cosx|cosx