1角的概念和弧度制

角的概念和弧度制•一.角的概念•1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，叫做角。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。射线的端点叫做角的顶点。•2.角的分类：正角、负角、零角。•3.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。6.终边相同的角：与角终边相同的角的集合（连同角在内），可以记为{}Zkk,360｜5．区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。6656654.轴线角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，若角的终边落在坐标轴上时，这个角就叫轴线角。角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴Zkk,360|Zkk,90360|Zkk,180360|Zkk,270360|Zkk,180|Zkk,90180|Zkk,90|7.几种终边在特殊位置时对应角的集合为：二.弧度制1.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角。1弧度记作:1rad.用弧度作为度量角的制度，叫弧度制。（1度的角：把周角360等份，则其中1份所对的圆心角叫做1度的角。用度作为度量角的制度，叫角度制。）2.角度制与弧度制的互化：rad，rad;1弧度18018013.571803.弧长公式：（是圆心角的弧度数）rl||4.扇形面积公式：2||2121rrlSZkkxxM,451802|已知角，（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角45]0,720[（2）设集合，，那么两集合的关系是什么？ZkkxxN,451804|【思路分析】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论。解：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：)(36045Zkk则令036045720k得45360765k解得36045360765k从而或2k1k代回得或675315（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MNZkkxxM,45)12(|ZkkxxN,45)1(|【点评与感悟】与角终边相同的角（连同角在内），可以表示为.360,kkZ（1）若角是第二象限角，则①是哪个象限角？②是哪个象限角？（2）已知是第三象限角，则是第几象限角?223【思路分析】对于（1），由a是第二象限角，可得到a角的范围，即，()进而可得到的取值范围，再根据范围确定其象限即可；对于（2），同理由a是第三象限角，可得到a角的范围，进而可得的取值范围，18036090360kkZk,223再根据范围确定其所在象限。此外本题也可用几何法来确定所在的象限。,23解：（1）①因为角a是第二象限角，所以18036090360kk则)(90180245180Zkkk当k是偶数时，设)(2Znnk则)(90360245360Znnn可知在第一象限；2当k是奇数时，设)(12Znnk则)(2703602225360Znnn可知在第三象限；2综上所述，角a是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；2②因为可知角2a的终边应在第三象限或第四象限或Y轴的负半轴上.360360221803602kk（2）解法一：因为a是第三象限角，所以Zkkk2322∴Zkkk2323332∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；3当k=3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角；3当k=3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角。3故为第一、三、四象限角。3解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起。依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知，是第一、三、四象限角。3【点评与感悟】（1）已知角a的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：若a是第k（k取1、2、3、4之一）象限的角，利用单位圆判断是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角终边所在的范围。n)(,n*Nn)(,n*Nnyx432143214321如：k=2,则角是第一或二或第四象限的角。如右图中标有号码2的区域就是终边所在位置。（2）确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必须掌握已知角a的范围，求与a有运算关系的角的范围。33已知下列各个角：711165112938554（1）其中是第三象限的角是____________（2）将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？【思路点拨】⑴先将已知角对应化为或的形式后，再根据终边相同来判断角所在象限；⑵根据换算公式解第二问。k2360ky)(Zk解：（1），它是第一象限角；732711167846504765112，它是第三象限角；2)29(93，它是第二象限角，36038554225，它是第三象限角；所以是第三象限的角是和24（2）86.28218071171111533018065116511266.5161809934191808558554【点评与感悟】熟练掌握角度制与弧度制的互化公式：rad，rad;1弧度是正确换算的关键。3.571801801180一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长radr所以扇形的周长是rr2依题意知：，解得rrr2rad2转化为角度制为rad2180)2(6519'它的面积为：22)2(2121rrS【点评与感悟】熟练掌握弧度制下的弧长公式，扇形公式是解答此类问题的关键。