第七章弯曲变形2

§7—5梁的刚度计算一、梁的刚度条件[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⇒≤≤LLyyyδδδmaxmaxmax[]θθ≤max其中[θ]称为许用转角；[δ/L]称为许用挠跨比。二、刚度计算n、校核刚度：o、设计截面尺寸；p、确定外载荷。（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[δ]=,B点的[θ]=0.001弧度,试校核此杆的刚度.m6108−×F2ABCDF2ABCDF2BL2CABL1L2CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmEIaLFayBC162111==θEILFB16211=θEILaFEIaFEIaLFyC3316223221−−=EILaFEIMLB3323−=−=θEILaFayBC32233−==θEILaFEILFB316221−=θ解：n结构变换，查表求简单载荷变形。02=BθEIaFyC3322−=o叠加求复杂载荷下的变形=++图1图2图3F1F2F2F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmABCD2BaCF2ABLaCMF2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmEILaFEIaFEIaLFyC3316223221−−=EILaFEILFB316221−=θ481244441018810)4080(6414.3)(64mdDI−−×=×−=−=π)(10423.0)320016400(18802104.03164221弧度−×−=−×=−=EILaFEILFBθmEILaFEIaFEIaLFyC62232211019.53316−×−=−−=[]δ×=−myC61019.5p校核刚度此杆刚度足够[]弧度弧度001.010423.04=×=−θθB三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可知：梁的挠度和转角除了与梁的支座和载荷有关外，还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的位移与跨长L的n次幂成正比。（转角为L的2次幂，挠度为L的3次幂）1、增大梁的抗弯刚度（EI）2、调整跨长和改变结构方法——同提高梁的强度的措施相同3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）注意：同类的材料，“E”值相差不多，“σjx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！C=ABq2l2lCAB2l2lCABqARBRARBRCRCR.02,02=−=∑qllRmBA,2,0qlRmAB==∑由平衡方程可以解出全部未知数静定问题二个平衡方程，三个未知数。平衡方程数未知数。超静定问题.5.0qlRB=平衡方程数=未知数。0=cy去掉多余约束而成为形式上的静定结构—基本静定基。§7-6简单超静定梁多余约束1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基）L/2ACAqL/2BRcC=ABq2l2l解超静定的步骤——(静力、几何、物理条件)原则：便于计算2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力CBRABq分析——0=+=CcRcqcyyy多余反力0=By计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。C解：1)受力分析，列平衡方程判定超静定次数４)物理条件代入上式,85qLRC=ABq2l2lCRABq例已知梁的EI，梁的长度，求各处的约束反力。３)变形协调方程２)解除多余约束——静定基（解除Ｃ支座约束，代之以多余约束反力，得基本静定基——简支梁）ARBRCR∑=−++=0,0qlRRRYCBA∑=−+=05.05.0,02qllRlRMCBA0=+=CRCqCyyyEIlRyEIqlyCCRCqC48,384534−==利用平衡方程可求出全部未知力：163qlRRBA==048384534=−EIlREIqlCCABq2l2l165ql163ql25692ql画出剪力图、弯矩图。ARBRCR162ql163ql25692ql165ql,85qLRC=163qlRRBA==最大弯矩162maxqlM=CABq2l2l与静定梁作比较：82maxqlM=′5.0maxmax=′MM超静定梁因增加了多余约束，强度（刚度）得到有效提高，多余约束并不真正多余EIo、几何方程解1：n、受力分析，p、物理方程EIlRyEIqlyBBRBqB3;834−==03834=−EILREIqLB,83qLRB=∴例已知梁的EI，梁的长度，求各约束反力。ABBR0=+=BRBqByyyql静定基BRAmARABqqlRmRBAA,,,∑=−+=0,0qlRRYBA∑=+−=05.0,02lRqlmMBAA8,852qlmqlRAA==得：=ABRBq0AB+求解平衡方程：EIo、几何方程解2：n、受力分析，p、物理方程EIlmEIqlAAmAq3;2423−==θθ03243=−EIlmEIqlA,8qLmA=∴AB0=+=AmAqAθθθql静定基BRAmARqqlRmRBAA,,,∑=−+=0,0qlRRYBA∑=+−=05.0,02lRqlmMBAA83,85qlRqlRBA==求解：ABAmqABABAmAmθAqθ=+,0=Aθq0LABCEI=q0LABRBEI=ABRBq0AB+例：已知梁AB：EI，L，杆BC：LBC,EA。o、几何方程解：n、建立静定基BCBRBqBLyyyB∆=+=求B点反力。p、由物理关系EILRyEIqLyBBRBqB3;834−==EALRLBCBBC=∆)3(834ILALIqLRBCB+=∴EALREILREIqLBCBB=−3834求出支反力例：结构如上图，E=210Gpa，[σ]=160MPa，LBC=1m，ABC=1cm2,AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20kN/m,试校核结构的强度。解：由上题可知——q0AB)(14.8)3(834kNILALIqLRBCB=+===maxmaxzABWMσ)(8.150.30.16237202MPa=××梁AB：弯矩如图，Mmax=−23.72KNmBRq0LABCEILBCEA杆BC：FN=RBxM-23.72kNm1.64kNm)(4.811081404MPaARBCBCBC===−σ结构强度足够例梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。解21BByy=变形协调方程为：BBFF′=FBMMAAFFAAyB1FBMMCCFFCCyB2物理关系EIFEIqyBB3484341×+×=()EIFEIFy'BB3424362322×−−××=FBFBMMAAFFAAMMCCFFCCyB1yB2kN75.84842046104023342−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××−××=BF代入得补充方程：()EIFEIFEIFEIqBB342436234843234×−−××=×+×04,0=−−=确定A端约束力∑qFFFBAykN25.7175.82044=−×=+=BAFqF0424,0=+×+=∑BAAFqMM()mkN12575.842204424⋅−=−×−××−=−×−=BAFqMEIFEIqyBB3484341×+×=()EIFEIFy'BB3424362322×−−××=21BByy=确定B端约束力FBF´BMMAAFFAAMMCCFFCCyB1yB20,0=−+=′∑FFFFCBy()kN75.4875.840=−−=−=′BCFFF042,0=−+=′∑BCCFFMM()kN.m11540275.8424−=×−−×=−=′FFMBCA、B端约束力已求出MMAAFFAAMMCCFFCC)(kN25.71=AF)kN(75.48=CF)(mkN125⋅=AM)m(kN115⋅=CM)(+)(−25.7175.875.48()kNSF最后作梁的剪力图和弯矩图)(−12511594.15.17)mkN(⋅M)(−例：求图示梁的约束反力，并绘Fs、M图解：（一）解除多余约束（B处支做座）以多余约束来代替，基本静定梁的受力形式见图a所示。BR（二）建立变形协调方程，求出多余约束反力。先将图a受力形式分解成单独荷载下的受力形式（图b、c）变形协调方程为：0,By=即：0BPBRyy+=①0BPBRyy+=①代入①中得：3350483BRlPlEIEI−+=解出：516BRP=其中：32332()()22.3225()48()3BPCCBBRlyyllPPlEIEIPlEIRlyEIθ=+=−−=−↓=↑+−−0,11160..0,2316ABAAABAYRRPRPlMMRlPMPl=+=∑==+−=∑=，，（三）由静力平衡方程解出其余的表反力并绘Fs、M图①CD杆如为刚性杆，求CD杆内力。②如CD杆刚度为EA，求CD杆的内力。2,IAa=例：图示结构AC梁在C处的挠度为：解：（一）CD杆为刚性杆时的内力。先将结构分解成图a形式。此时CD杆为刚性，变形为零。—①4383CCqCNqaNayyyEIEI=+=−+−变形协调条件为：CDyy=即433836qaNaNaEIEIEI−+=−DB梁在D处的挠度为33(2)DNayEI=−——②可解出：14Nqa=此时C、D处的挠度表达式仍为式①、②（二）CD杆刚度为EA时的内力—①4383CCqCNqaNayyyEIEI=+=−+−33(2)DNayEI=−——②建立变形协调方程时，还需考虑CD杆的变形。此时CD杆变形为：23NlNalEAEA∆=−=−——③变形协调方程为：CDyyl−=∆23NlNalEAE∆=−=−—①A——③4383CCqCNqaNayyyEIEI=+=−+−33(2)DNayEI=−——②即343323()836NaqaNaNaEIEIEIEI−+−−=−解得：328Nqa=−