课时学案——正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

课时学案——正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性江苏韩文美【课前准备】1．课时目标（1）正确理解周期函数的定义与性质；（2）会求正、余弦函数的最小正周期，会求函数y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）的最小正周期；（3）会判断正、余弦函数的奇偶性，并会简单应用．2．基础预探（1）周期性：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的________．（2）周期函数的周期不止一个．如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的________．（3）正弦函数是周期函数，________（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是________．余弦函数是周期函数，________（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是________．（4）一般地，函数y=Asin（ωx+φ）与y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω0）的周期T=________．（5）就奇偶性而言，正弦函数是________函数，余弦函数是________函数．【知识训练】1．函数y=2sinx的周期是（）A．πB．2πC．3πD．4π2．下列函数中，是偶函数的是（）A．y=cosx－sinxB．y=|sinx|C．y=21sinx+1D．y=xsin13．y=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称，则θ=_______．4．y=2sin（3x－4π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______．5．若f（x）是以2π为周期的奇函数，且f（－2）＝－1，则f（25）的值为．6．求函数y=|sin（x+3）+21|的最小正周期．【学习引领】1．对周期函数的定义还要进一步加以理解：（1）式子f（x+T）=f（x）是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立．也就是对于定义域内任何x式子都成立，而不能是“一个x”或“某些个x”式子成立；从另一方面说，要判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就可以了．（2）式子f（x+T）=f（x）是对“x”而言的，即周期函数的周期与自变量x的系数有关．（3）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT（k∈Z且k≠0）一定也是周期．定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数．2．一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期，即并不是任何周期函数都有最小正周期．3．研究三角函数奇偶性时，就先判断函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点不对称，则该函数为非奇非偶函数．为了能简便迅速地判断三角函数的奇偶性，有时还需要先作适当的等价变形．【典例导析】题型一：函数周期性的应用例1．已知简谐运动f（x）=2sin（3x+φ）（|φ|2）的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和φ分别为（）A．T=6，φ=6B．T=6，φ=3C．T=6π，φ=6D．T=6π，φ=3思路导析：直接利用求解函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式加以分析与求解．解析：由于T=2=32=6，把点（0，1）代入f（x）=2sin（3x+φ），得sinφ=21，因为|φ|2，所以|φ|2，故选择答案：A．点评：此类问题是高考中最常见的，公式法是求解三角函数最小正周期的基本方法，一般地，有：（1）y=Asin（ωx+φ）+h与y=Acos（ωx+φ）+h的最小正周期为T=||2；（2）y=|sinωx|或y=|cosωx|的最小正周期为T=||．变式练习1：已知函数f（x）=sin（ωx+3）（ω0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）A．关于点（3，0）对称B．关于直线x=4对称C．关于点（4，0）对称D．关于直线x=3对称题型二：函数奇偶性的应用例2．若f（x）=asin（x+4）+3sin（x－4）是偶函数，则实数a＝________．思路导析：利用三角函数的奇偶性及其诱导公式进行变换，通过系数对应的关系来确定相应的参数问题．解析：由偶函数的定义知：f（x）＝f（－x），又f（－x）=asin（－x+4）+3sin（－x－4）=－asin（x－4）－3sin（x+4），即asin（x+4）+3sin（x－4）=－asin（x－4）－3sin（x+4），所以33aa，解得a＝－3，故填答案：－3．点评：三角函数的奇偶性是高考的常考内容，熟练掌握奇函数、偶函数的定义是解决此类问题的关键．在三角函数中，往往也会综合相应的公式与性质加以应用．变式练习2：f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3sinx+4cosx+7，则x0时，f（x）的表达式是（）A．－3sinx－4cosx－7B．3sinx－4cosx+7C．3sinx－4cosx－7D．－3sinx+4cosx+7题型三：判断函数的奇偶性例3．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+x2sin1）．思路导析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系．解析：由于函数f（x）的定义域为R，即定义域关于原点对称，又f（x）+f（－x）=lg（sinx+x2sin1）+lg（－sinx+x2sin1）=lg（sinx+x2sin1）（－sinx+x2sin1）=lg1=0，即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数．点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件．要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f（x）与f（－x）的关系．变式练习3：函数f（x）=2x－sinx（x∈R）的部分图象可能是（）题型四：综合应用问题例4．关于函数f（x）=sin（|x|+2）有下列判断：①是偶函数；②是奇函数；③是周期函数；④不是周期函数，其中正确的是（）A．①与④B．①与③C．②与④D．②与③思路导析：通过对函数关系式的恒等变换，利用诱导公式及余弦函数的性质，进而判断其对应的奇偶性与周期性问题．解析：由于f（x）=sin（|x|+2）=cos|x|=cosx，所以f（x）是偶函数，且是周期函数，故选择答案：B．点评：主要考查三角函数的变换、图象及其性质．在三角函数的图象与性质问题中，要注意在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，并且要注意数形结合的方法．变式练习4：定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小周期是π，当x∈[0，2]时，f（x）＝sinx，则f（35）的值是（）A．－21B．21C．－23D．23【随堂练习】1．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，2π］时，f（x）=sinx，则f（3π5）的值为（）A．－21B．21C．－23D．232．已知y=f（x）是周期为2π的函数，当x∈［0，2π）时，f（x）=sin2x，则f（x）=21的解集为（）A．{x|x=2kπ+3π，k∈Z}B．{x|x=2kπ+3π5，k∈Z}C．{x|x=2kπ±3π，k∈Z}D．{x|x=2kπ+（－1）k3π，k∈Z}3．已知函数f（x）=sin（πx－2π）－1，则下列命题正确的是（）A．f（x）是周期为1的奇函数B．f（x）是周期为2的偶函数C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数4．如果函数f（x）＝－2sin（2ωx－3π）的最小正周期是4π，则ω＝．5．已知函数f（x）=1－cos2x，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=＿＿＿＿．6．已知函数f（x）=2sin（3kx+4），如果使函数f（x）的周期在（32，43）)43,32(内，求正整数k的值．【课后作业】1．函数y=－xcosx的部分图象可能是（）DyxOCyxOyxOBAyxO2．如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0θ2π）的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（）A．T=2，θ=2πB．T=1，θ=πC．T=2，θ=πD．T=1，θ=2π3．设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=－f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于_______．A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.54．若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R，都有f（4π－x）=f（4π+x），则f（x）的解析式可以是_______．（只写一个即可）5．判断下面函数的奇偶性：f（x）=sin4x－cos4x+cos2x．6．设函数f（x）=3sin（ωx+6），ω0，x∈（－∞，+∞），且以2为最小正周期．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知f（4+12）=59，求sinα的值．答案：【课前准备】2．基础预探（1）f（x+T）=f（x），周期；（2）最小正周期；（3）2kπ，2π，2kπ，2π；（4）2；（5）奇，偶．【知识训练】1．B；解析：函数y=2sinx的周期与函数y=sinx的周期一样，都是2π；2．B；解析：A、C是非奇非偶函数，D是奇函数，只有B是偶函数．3．θ=kπ+2π（k∈Z）；解析：解析：y=f（x）为偶函数，则有θ=kπ+2π（k∈Z）；4．3π；解析：由于T=3π2，相邻对称轴间的距离为3π；5．1；解析：f（25）=f（2）=－f（－2）＝1；6．解析：由于y=|sin（x+2π+3）+21|=|sin（x+3）+21|，即f（x+2π）=f（x），所以T=2π．【典例导析】变式练习1：A；解析：由题意知ω=T2=2，所以解析式为f（x）=sin（2x+3），经验证可知它的一个对称中心为（3，0）；变式练习2：C；解析：设x0，则－x0，∴f（－x）=3sin（－x）+4cos（－x）+7=－3sinx+4cosx+7，∵对于任意的x∈R，f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x），∴－f（x）=－3sinx+4cosx+7，∴f（x）=3sinx－4cosx－7；变式练习3：D；解析：判断可知f（x）=2x－sinx（x∈R）是奇函数，其图象关于原点对称，且当x→＋∞时，函数值y→＋∞，当x→－∞时，函数值y→－∞，仅选项D满足；变式练习4：D；解析：因为f（x）的最小正周期是π，所以f（35）＝f（35－2π）=f（－3），函数f（x）是偶函数，所以f（－3）=f（3），因为3∈[0，2]，所以f（3）=sin3=23，即f（35）＝23；【随堂练习】1．D；解析：f（3π5）=f（3π5－2π）=f（－3π）=f（3π）=sin3π=23；2．C；解析：∵f（x）=sin2x=21，x∈［0，2π），∴2x∈［0，π），∴2x=6π或6π5，∴x=3π或3π5，∵f（x）是周期为2π的周期函数，∴f（x）=21的解集为{x|x=2kπ±3π，k∈Z}；3．B；解析：由于T=ππ2=2，且f（x）=sin（πx－2π）－1=cos2x－1，∴f（x）为偶函数；4．±41；解析：由于T=|2|2=4π，则ω＝±41；5．2012；解析：由f（x）=1－cos2x知这个函数的周期是4，而f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0+1+2+1=4，由周期性，这样连续四项的和均为4，共有2012项，是4的503倍，故可得结果为4×503=2012；6．解析：由于k为正整数，则函数f（x）=2sin（3kx+4）的周期为：T=32k=k6，而函数f（x）的周期在（32，43）内，那么32k643，解得8πk9π，所以满足条件的正整数k的值为26、27或28．【课后作业】1．D；解析：由于y=－xcosx为奇函数，且当x从正数方向无限接近于0时，图象在x轴下方；2．A；解析：T=ππ2=2，又当x=2时，s