计算流体力学第二章 理论基础(3)

1设：初始扰动（误差）为：则为了使则要求及再计算：§2-3、差分格式稳定性分析法、一、离散扰动的稳定性分析理论基础；误差传播特性；归纳法例:FTCS格式22xutunjnjnjnjnjuuuxtuu11212njnjnjnjsuussuu11121mjmjj001ntt时sm11sm211sm111maxi1s10121ss2j222sm22142ssm22641ssm2maxj142122sss16412ss320s2这个最后条件，如第一步计算中，附加误差修正不过冲的条件，即但“不过冲”与误差传播振幅不扩大的含义并不一致。当，误差分布可能出现的情况如下；（1）（2）（3）m-1mm＋1m-1mm＋1m-1mm＋1tnt1maxnj.014121ss21so2121sso以此误差分布，从n时间步计算到n+1时间步，并要求n+1在时间层上：3但为了满足的最大值，经矩阵相乘后，其幅度不增大，从线性代数的分析可知，其必要条件是：矩阵的谱半经不大于1；（谱半径的定义是，矩阵所有特征值的绝对值的最大值。）二。矩阵法（谱分析法）一个更严格的关于初值问题差分格式稳定性分析的方法是矩阵法。解是一个解向量，经过后解的改变：A是一个变换矩阵，分析变换矩阵的性质，讨论解的性质变化。（仍讨论上述的例子）tnjnA1nJnnn1210,00nJnnnnss211121njnjnjnjsss11121nJnJnJss121121nnA1)1()1(2121212121JJsssssssssssssA1nAA4递推一致有界的充要条件是A的谱半经设：A的特征值为:相应的特征向量:（m=1,2,···，J-1）01121nnnnAAAonnA11nA1121JmmvmmmvvAmmJmvC110mmmJmmmJmmmJmovCvACvCAA1111111112111112JmmmmJmmmmJmmmmvCvACvCAA011)(nAJmmnmmnvC1A要求由此5★线性代数中关于求三对角矩阵特征值的定理设矩阵A为M阶的三对角矩阵，即：MMbacbacbacbA),1(cos][sgn21MmaccbMmm利用该定理，A的特征值是：则A的特征值为JmsJmssssJmJmm2sin412sin221)cos1(21cos221221m1sin4122Jms210s6数值解有界（或初始误差在传播过程中不扩大），则要求层间放大因子（放大矩阵）所以，即放大矩阵（因子）必须一致有界此处若：G为复数，则：G为矩阵引入的层间放大因子故可设等▲线性问题中,通过分析任意一个Fourier分量的解的耗散性质给出稳定性的讨论;三,Von.Neumann稳定性分析方法,基本思想:▲分析差分数值解的耗散特性,判断数值解的是否有界的特性；(或曰差分方程对误差的传播性质)▲初始解(初始误差)利用Fourier展开成Fourier级数jikxokkojeAonnnGG11nG1GGG1G1G1)(G,1nnGikxnknikxnkneAeA11,1nnG7例1：方程Lax-Wendroff格式：0xuaxunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuucuucuuuuxtauuxtauu1121111222111222222sincos112iccGxk)1()cos1(1sincos112222222ccccG容易解出是的必要条件，即Von-Neumann分析的稳定性条件是：1G1)1()cos1(1222cc1c1G1c由即：8要求即所有椭圆上的点均应在单位园之内另对于椭圆：显然应：代入整理，并求得到例2：FTCS格式：设:22xuvxuatu21111122tuuuvtuuatuunjnjnjnjnjnjnj)(111xxiknknjikxnknjikxnknjjjjeAueAueAunknkAAG1sin1cos21sin1cos21icsxkicxksG,2xtvs2s10此式在复平面上是表示实半轴为2S，虚半轴为C的椭圆sin1cos21icsG1G2112ss11CC12222byaxabba22&scsc21222其顶点的曲率半经分别为；故还应有：9在运用此格式求解Burger’s方程时,对于数值解是否出现振荡的问题是关键的，伪振荡显然是不希望;但在的条件下，FTCS格式将产生伪振荡。伪振荡并非数值计算的不稳定！其实质是格式的非单调性所引起的！将格式写成：当，格式是单调的（见单调格式一样）而时，格式是非单调的。可能出现数值解的伪振荡。例：则若引入网格雷诺数的概念则由：*此处提请注意：而不是有些参考书上所说的sctvxxtavxaxe22Reccscscx2Re22211221c4Re1x1c2Rex,Re2Cx2Rexccx2Re2njxnjnjxnjcnjnjcnjususususususu1112121Re2221Re22212Rex2Rex10例：定解条件如下：初值：边值：简单地，选用11个网格，第一个时间步时，仅有第10个网格点的值为非零。因：则例c=0.4s=0.1继续计算1000,xxu11),1(00),0(111nnutuutuxnnnxnsusususuRe22Re2221Re22910111102Rex0110nu54Re4,02x1.0110nu01.029nu18.0210nu解的这一摆动最终会传播到另一端的边界，但整个数值解仍保持为有界。差分数值解的这种伪振荡现象同样会出现在用二阶或高阶格式求解无粘Burgers方程时的间断（激波）解的问题中。11oxwatuoxubtwxtbcxtac21njnjnjnjnjnjnjuuuccwwcuu11211111222njnjnjnjnjnjnjjjikxnwknjikxnuknjeAweAu1111nwnunAAAnwnunuAicAccAsinsin21222211nwnunwAccAicA222111sin21sinnnAGA12sin21sinsinsin21221122221ccicicccG例3:方程组问题的稳定性分析Lax-Wendroff格式：写成向量稳定条件：即1G1G令：12若为稳定性条件求G的特征值0sin21sinsinsin2122112221ccicicccsinsin212122212,1ccicc221222212sin)sin21(cccc242121sin141cccc121cc1ba121cc时13由于Von-Neumawm稳定性分析只能针对线性问题，上述格式中或必须将它当成常数才能进行分析；为此取等于中绝对值较大的一个，并保留原符号；并类似地记：（C可正可负），或直接由非守恒方程出发，采用MacCormack格式；stepP；stepC；例4；非线性问题的局部线化稳定性分析非线性方程差分方程可由守恒或非守恒方程出发写出；等价守恒方程为预测步校正步：Burger221xuRxuutue2221)2(xuRxutuenjnjnjenjnjnjjuuuxRtuuxtuu112221*222*1**122*12*211222jjjejjjnjnjuuuxRtuuxtuuunjxu2njnjnjenjnjnjxtnjjuuuxRtuuuuu1121*221*22*1***21121jxejjjjnjnjuxRtuuuxtuuunju21*21jucu*2121,jnjuuxtuCc2RextsMacCormack格式14将非线性问题局部线化（或称时间上冻结非线性项），则稳定分性分析的问题成为；（改写成三步形式）stepp:stepc:step3:stepp用Von-Neumann分析，得stepcstep3无稳定性问题.所以：njnjnjnjnjnjjuuusuucuu111*2*1**1*1****2jjjjjjjuuusuucuu**211jnjnjuuuxikxikxiknkkneesecAAuuG211**1xksxkixkccos121sincos1xkicxkcssin11cos2xksecuuGxikcos1211***2]1[2112112121121********1GGuuuuuuuuuuuGnnjnjnnn15综合，不等式右侧部分较严格的要求是，左侧部分较严格的要求是；由类似的讨论，在复平面上若分别考虑step1和step2的稳定要求:由：故若有则采用复平面上与单位园的对比条件可知，要求(不失一般性，令c0）实半轴：及虚半轴：端点曲率比较：1,121GG1GxkicxkcsGsin11cos212Re22120xsccscs即1ccsccsc21222122cscxkcikcsGsin11cos2212G122csc1,121GG2122xuxtcsccscc122ccuxutccs2222归纳为12cs16(1).讨论必要条件；由以上要求，则至少必须在两端点上满足：其中的充分必要条件是记：进一步计算可得：例5：关于MacCormack格式稳定性条件更精确的讨论在在什么条件下满足其绝对值小于1？为此将G1G2的关系代入G：