2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。1、设z=，则|z|=A、0B、C、1D、【答案】C【解析】由题可得iz2i）i-（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x2-x-20}，则A=A、{x|-1x2}B、{x|-1x2}C、{x|x-1}∪{x|x2}D、{x|x-1}∪{x|x2}【答案】B【解析】由题可得CRA={x|x2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%60%，【考点定位】简单统计4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0;d=-3∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD为BC边∴上的中线AD=AC21AB21E为AD的中点∴AE=AC41AB41AD21EB=AB-AE=AC41AB43）AC41AB41（-AB【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A、B、C、3D、2【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在41圆周处。∴最短路径的长度为AB=√22+42【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】抛物线C：y²=4x的焦点为F(1,0)AAB直线MN的方程:）2（32yx消去x整理得：y2-6y+8=0∴y=2或y=4M、N的坐标（1，2），（4，4）则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8【考点定位】抛物线焦点向量的数量积如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,N(x)=f(x)+x={𝑒𝑥+𝑥𝑥≤0𝑙𝑛𝑥+𝑥𝑥0分段求导：N‘(x)=f(x)+x={𝑒𝑥+10𝑥≤01𝑥+10𝑥0说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。∴a的取值范围是C.[-1，+∞）【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3【答案】A【解析】整个区域的面积：S1+S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC+S△ABC根据勾股定理，容易推出S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC∴S1=S△ABC故选A【考点定位】古典概率、不规则图形面积11.已知双曲线C：-y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=A.B.3C.D.4【答案】B【解析】右焦点,OF=√3+1==2，渐近线方程y=±√33x∴∠NOF=∠MOF=30°在Rt△OMF中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°√3在Rt△OMN中，MN=OM∗tan∠𝑁𝑂𝑀=√3*tan(30°+30°)=3【考点定位】双曲线渐近线、焦点概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程，计算量很大。12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为MFNoA.B.C.D.【答案】A【解析】如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=√22截面面积S=6×√34×（√22）2=【考点定位】立体几何截面【盘外招】交并集理论：ABD交集为√3，AC交集为34，选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.【答案】6【解析】当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Zmax=3*2+0=6【考点定位】线性规划（顶点代入法）14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.【答案】-63【解析】S1=2a1+1=a1∴a1=-1n1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1两式相减：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1an=a1×2n-1=（-1）×2n-1∴S6=（-1）×（26-1）=-63【考点定位】等比数列的求和15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】C21C42+C22C41=2×6+1×4=16【考点定位】排列组合16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.【答案】−3√32【解析】f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方：f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)×（（3-3cosx）+3(1+cosx))/4）4=34×（46）4=427当3-3cosx=1+cosx即cosx=12时，f2（x）取最大值f（x）min=−3√32【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用【其他解法】：１．求导数解答２．f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=，求BC.【答案】【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠𝐴=ABsin∠𝐴𝐷𝐵∴sin∠ADB=ABsin∠ADB/BD=√25由题设可知，∠ADB90°∴cos∠𝐴𝐷𝐵=√1−225=√235(2)由题设及（1）可知cos∠BDC=sin∠ADB=√25在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD×DC×cos∠BDC=25+8-2×5××√25=25∴BC=5【考点定位】正弦定理余弦定理18.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【答案】【解析】（1）由已知可得PF⊥BF，BF⊥EF∴BF⊥平面PEF又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD(2)PH⊥EF，垂足为H，由（1）可得，PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH.CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（EF-HF）2+PH2CF2=PF2=HF2+PH2设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：22=12+（2-HF）2+PH212=HF2+PH2∴解方程得HF=12PH=√32在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=√32/2=√34.【考点定位】立体几何点、直线、面的关系19.（12分）设椭圆C：+y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.【答案】【解析】（1）由已知可得F（1，0），直线l的方程为x=1由已知可得,点A的坐标为（1，√22）或（1，—√22）∴直线AM的方程为y=—√22x+√2或y=√22x—√2(2)当l与x轴重合，.∠OMA=∠OMB=00当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)点A(x1,y1),B(x2,y2)，x12,X22,则直线MA、MB的斜率之和KMA+KMB=𝑦1𝑥1−2+𝑦2𝑥2−2=𝑘(𝑥1−1)𝑥1−2+𝑘(𝑥2−1)𝑥2−2=2𝑘𝑥1𝑥2−3𝑘(𝑥1+𝑥2)+4𝑘(𝑥1−2)(𝑥2−2)将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0x1∴+x2=4𝑘22𝑘2+1,x1x2=2𝑘2−22𝑘2+12𝑘𝑥1𝑥2−3𝑘(𝑥1+𝑥2)+4𝑘=4𝑘3−4𝑘−12𝑘3+8𝑘3+4𝑘2𝑘2+1=0从而KMA+KMB=0MA、MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB综上所述，∠OMA=∠OMB【考点定位】圆锥曲线20、（12分）某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P（0P1），且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），f（P）求f（P）的最大值点。（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】【解析】（1）f（P）=C202P2(1-P)18=181C202(9P)2(1-P)18≧181C202×{(9P∗2+（1−P)∗18）20}20=181C202×{910}20当9P=1-P，即f（P）的最大值点P0=0.1.f（0.1）=19×