最优控制-第一章-概述

第一章概述最优控制属于最优化的范畴。因此，最优控制与最优化有其共同的性质和理论基础。最优化涉及面极为广泛，举凡生产过程的控制，企业的生产调度，对资金、材料、设备的分配，乃至经济政策的制定等等，无不与最优化有关。1第一章概述最优控制通常是针对控制系统本身而言的，目的在于使一个机组、一台设备、或一个生产过程实现局部最优化。本门课程旨在研究最优控制系统的综合问题。2第一章概述将重点讨论设计最优控制系统常用的变分法、极小值原理和动态规划三种方法的基本理论及其在典型系统设计中的应用。当人们在从事某项工作时，总是想着采取最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。3第一章概述例：有甲、乙两个仓库，分别存有水泥1500包和1800包。有A、B、C三个工地，分别需要水泥900包、600包和1200包。已知从甲库送到A、B、C三个工地，每包水泥的运费分别为1元、2元和4元；从乙库送到A、B、C三个工地的运费分别为4元、5元和9元。应怎样发送这些水泥，才能使运费最省呢？4第一章概述首先对该问题进行数学描述，再求其最优解。设从甲库送到A、B、C三个工地的水泥包数分别为x1、x2、x3；从乙库送到A、B、C三个工地的水泥包数分别为x4、x5、x6。那么总的运费将是x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T的函数，即f(x)=x1+2x2+4x3+4x4+5x5+9x65第一章概述在最优化问题中，f(x)称为目标函数。最优化的任务在于确定x，使f(x)为最小值。但x的选取不是任意的，它受到约束条件的限制。如：x1+x2+x3≤1500x4+x5+x6≤1800x1+x4=900x2+x5=600x3+x6=12006第一章概述本例中，目标函数f(x)和约束条件都是自变量x的一次函数，称为线性最优化问题。又因约束条件中存在不等式，故属具有不等式约束条件的线性最优化问题。7第一章概述考虑到甲库运往各工地的运费都较乙库的便宜，故应先尽甲库的水泥发送。因此，前两个不等式可变成等式约束，即x1+x2+x3=1500x4+x5+x6=1200从而本例是一个具有等式约束条件的最优化问题。8第一章概述当然，目标函数和约束条件并不限于线性情况，而可能是变量的各种非线性函数。9第一章概述一般地，目标函数用表示：J(x)=f(x)(1-1)约束条件为等式约束gi(x)=0i=1,2,…,m(1-2)或不等式约束hj(x)≤0j=1,2,…,l(1-3)10第一章概述那么，最优化任务，是要在式(1-2)、式(1-3)的约束条件下，寻求x，使式(1-1)的目标函数取最优(最小或最大)值。上述问题的最优化，由于变量x与时间t无关，或在所讨论的时间区间内t为常量，因此属于静态最优化问题。11第一章概述在最优控制系统中，由于受控对象是一个动态系统，所有变量都是时间的函数，所以这是动态最优化问题。在动态最优化问题中，目标函数不再是普通函数，而是时间函数的函数，称为泛函数，简称泛函。12第一章概述例如，在时间定义域[t0,tf]上的目标泛函为(1-4)基本约束条件是受控对象的状态方程，如(1-5)ftttttutxLJ0d,,ttutxftx,,13第一章概述式中J——标量，对每个控制函数都有一个值与之对应；L——标量函数，它是矢量x(t)和u(t)的函数；x(t)——n维状态矢量；u(t)——r维控制矢量；f——n维矢量函数。14第一章概述ftttttutxLJ0d,,ttutxftx,,最优控制问题是要在式(1-5)的约束条件下寻求最优控制函数u(t)，使式(1-4)的目标泛函取极值(最小或最大)。求解动态最优化问题的方法主要有：古典变分法极小(大)值原理动态规划法15第一章概述应当指出的是，在求解动态最优化问题中，若将时域[t0,tf]分成许多有限区段，在每一分段内，将变量近似看作常量，那么动态最优化问题可近似按分段静态最优化问题处理。显然，分段越多，近似的精确程度越高。所以静态最优化和动态最优化问题不是截然分立，毫无关系的。16第一章概述动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没有随机变量，系统的参数都是确定的。这里只讨论连续时间系统的确定性最优控制问题。17第一章概述