一质量为500kg的汽艇

三、计算题167、一质量为500kg的汽艇，在静水中航行时能达到的最大速度为10m/s，若汽艇的牵引力恒定不变，航行时所受阻力与航行速度满足关系f＝kv，其中k=100Ns/m。（1）求当汽艇的速度为5m/s时，它的加速度；（2）若水被螺旋桨向后推动的速度为8m/s，则螺旋桨每秒向后推动水的质量为多少？（以上速度均以地面为参考系）（1m/s2;125N）168．如图所示，在盛水的圆柱型容器内竖直地浮着一块圆柱型的木块，木块的体积为V，高为h，其密度为水密度ρ的二分之一，横截面积为容器横截面积的二分之一，在水面静止时，水高为2h，现用力缓慢地将木块压到容器底部，若水不会从容器中溢出，求压力所做的功。解：由题意知木块的密度为ρ/2，所以木块未加压力时，将有一半浸在水中，即入水深度为h/2，木块向下压，水面就升高，由于木块横截面积是容器的1/2，所以当木块上底面与水面平齐时，水面上升h/4，木块下降h/4，即：木块下降h/4，同时把它新占据的下部V/4体积的水重心升高3h/4，由功能关系可得这一阶段压力所做的功vghhgvhgvw16142441压力继续把木块压到容器底部，在这一阶段，木块重心下降45h，同时底部被木块所占空间的水重心升高45h，由功能关系可得这一阶段压力所做的功vghhgvhvgw1610452452整个过程压力做的总功为：vghvghvgh1611161016121169．在水平地面上匀速行驶的拖拉机，前轮直径为0.8m,后轮直径为1.25m,两轮的轴水平距离为2m,如图所示，在行驶的过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小块石子，0.2s后从后轮的边缘的最高点B处也水平飞出一小块石子，这两块石子先后落到地面上同一处(g取10m/s2).求拖拉机行驶的速度的大小.解.由题设知，从A处水平飞出的石子和0.2s后从B处水平飞出的石子均做平抛运动，抛出的初速度大小相等，且均为拖拉机行驶速度的2倍如图2xA=2v·tA=2vgDA2xB=2vtB=2vgDB2xＡ+d=xB+v·t0v=5m/s*170．质量为M的小车置于水平面上。小车的上表面由1/4圆弧和平面组成，车的右端固定有一不计质量的弹簧，圆弧AB部分光滑，半径为R，平面BC部分粗糙，长为l，C点右方的平面光滑。B滑块质量为m，从圆弧最高处A无初速下滑（如图），与弹簧相接触并压缩弹簧，最后又返回到B相对于车静止。求：（1）BC部分的动摩擦因数；（2）弹簧具有的最大的弹性势能；（3）当滑块与弹簧分离时滑块和小车的速度．解：（1）lmgmgR2,∴lR2(2)2mgRmglmgREP(3)22212121MvmvEP021Mvmv解得：mMMRgv1，mMMRgMmv2*171．牛顿第二定律的一般表达式是：maF合，在对物体组进行动力学分析时，一般对于加速度相等的物体组才可以看成一“整体”，但实际上对于加速度不相等的物体组也可以看成一“整体”，此时的牛顿第二定律仍可适用，但表达式要修正为：2211amamF合，在平面直角坐标系中分解为两个方向：xxamamF2211x合，yyamamF2211y合，系统内力在上述方程中不体现出来，这样可使得问题得到简化。请利用上述方法．．．．．．求解下列问题：质量为m1=3kg、m2=1kg的两个物体A、B用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角θ=37°、质量M=4kg的斜面上，B悬空，释放A后沿斜面加速下滑，不计一切摩擦，求下滑过程中左侧墙壁和地面对斜面的弹力大小。172．如图示，粗糙斜面与光滑水平面通过半径可忽略的光滑小圆弧平滑连接，斜面倾角37，A、B是两个质量均为1kgm的小滑块（可视为质点），C为左端附有胶泥的质量不计的薄板，D为两端分别连接B和C的轻质弹簧。当滑块A置于斜面上且受到大小4NF，方向垂直斜面向下的恒力作用时，恰能向下匀速运动。现撤去F，让滑块A从斜面上距斜面底端L=1m处由静止下滑。（1）求滑块A到达斜面底端时的速度大小；（2）滑块A与C接触后粘连在一起，求此后两ABCABθ图2′滑块和弹簧构成的系统在相互作用过程中，弹簧的最大弹性势能。（2m/s，1J）173．如图所示，质量为M的长板静置在光滑的水平面上，左侧固定一劲度系数为K且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一根不可伸长的细绳连接于墙上（细绳张紧），细绳所能承受的最大拉力为T。让一质量为m、初速为v0的小滑块在长板上无摩擦地对准弹簧水平向左运动。试求：⑴在什么情况下细绳会被拉断？⑵细绳被拉断后，长板所能获得的最大加速度多大？⑶滑块最后离开长板时，相对地面速度恰为零的条件是什么？解：⑴m对弹簧的弹力大于等于细绳的拉力T时细绳将被拉断，有：T=kx0①20212021kxmv②解①②式得mkTx0⑵细绳刚断时小滑块的速度不一定为零，设为v1，由机械能守恒有：202121212021kxmvmv∴mkTvv2201③当滑块和长板的速度相同时，设为v2，弹簧的压缩量x最大，此时长板的加速度a最大，由动量守恒和机械能守恒有mv1=(M+m)v2④22122212021)(kxvmMmv⑤kx=aM⑥代入③式解④⑤⑥式得)(1220TkMvmMmMa设滑块离开长板时，滑块速度为零，长板速度为v3，由动量守恒和机械能守恒有mv1=Mv3⑦23212021Mvmv⑧代入③解⑦⑧式得kMmTv)(0mM174．质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于长为L倾角α=30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端时速度为V。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端时速度为V/3。求m1和m2之比解：由机械能守恒定律得：第一次：2212121v)mm(l)singmg（（m①第二次：22112321)v)(mm(l)singmg（（m②由①②式得111921mmmv0kM175．神舟六号载人飞船在绕地球飞行了5圈后变轨，轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知地球半径为R，地面附近的重力加速度为g．求飞船在圆轨道上运行的速度和运行的周期．解：设地球质量为M，飞船质量为m，圆轨道的半径为；根据万有引力定律和牛顿第二定律GMmr2=mv2r在地面附近GMmR2=mgr=R+h解得：v=RgR+h由T=2πrv求得：T=2πR(R+h)3g176．宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R。（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，从星球表面抛出的速度至少是多大？已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离r时的引力势能为rmMGEp（G为万有引力常量）。解．（1）由题意得星球表面重力加速度为tvg02沿水平方向抛出而不落回星球表面意味球的速度达到第一宇宙速度Rvmmg21即tRvRgv012（2）由表面重力加速度知势能公式变为rtRmvrmgRrmMGEp2022由机械能守恒得：02212022RtRmvmv使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少为：tRvv022177．设海水的深度每增加1m，海水的密度就增5kg/m3，表面海水密度为ρ0=1.0×103kg/m3。一密度为ρ=1.5×103kg/m3的刚性小球自海面无初速下落，至海底时速度又刚好为零。忽略海洋湍流及其他一切因素的影响。（1）试证明小球的运动是简谐运动；（2）求此海水的深度；（3）求小球下落过程中的最大速度。解．（1）当小球平衡时，由平衡条件得所处深度的海水密度为小球的密度ρ=1.5×103kg/m3，以平衡位置为坐标原点，当小球向上位移为x时，海水的密度为ρ-5x，小球受重力为ρgV，小球受海水的浮力（ρ-5x）gV，因此小球受到向下的合力为：f=ρgV-（ρ-5x）gV=5gVx同理可得，小球向下位移为x时所受合力与此相同，只是方向向上。由此可见，下球所受合力大小与位移成正比，方向与位移方向相反，因此小球将做简谐运动。（2）最大深度时的加速度与开始小球的加速度大小相同a始=ρgV-ρ0gVρV=13m/s2a底=ρxgV-ρgVρV=a始=13m/s2解得：最深处的海水加速度为ρx=2.0×103kg/m3海水的最大深度为H=ρx-ρ05=200m（这一问也可以用动能定理求解）（3）由于浮力随深度是均匀增加的，可以用平均力求浮力做功或画出F—h图象根据面积求浮力做功。由简谐运动知识知，海水深度h=100m时小球速度最大根据动能定理得：ρgVh-12[ρ0gV+（ρ0+5h）gV]h=12ρVv2–0代入数据解得：v≈18.3m178．在宇航舱中，有一块舱壁面积为A，舱内充满CO2气体，且一段时间内压强不变，如果CO2气体对板的压强是由气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中各有1/6的个数分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动．速率为v的CO2分子，与板壁碰撞后仍以原速率反弹；已知宇航舱1L体积中的CO2物质的量为n，求CO2气体对板壁的压强．解．在板壁面上，CO2分子碰后等速反弹，在△t时间内，共有：AtNnAvN61个分子产生碰撞（NA为阿佛伽德罗常数）由动量定理，产生的冲力为：F△t=(2mv)△N即：,312AvnF其中μ=44g/mol为CO2的摩尔质量．∴压强231vnAFp179．为了缩短航空母舰上飞机起飞前行驶的距离，通常用弹簧弹出飞机，使飞机获得一定的初速度，进入跑道加速起飞，某飞机采用该方法获得的初速度为V0之后，在水平跑道上以恒定功率P沿直线加速，经过时间t，离开航空母舰且恰好达到最大速度Vm。设飞机的质量为m，飞机在跑道上加速时所受的阻力大小恒定。求：（1）飞机在跑道上加速时所受的阻力f的大小（2）航空母舰上飞机跑道的最小长度s解：mvPf；2022121mvmvfSPtm180．如图所示，A、B是两块完全相同的长木板，长度均为L，质量均为m，两板间动摩擦因数为μ，将两者边缘对齐叠放在光滑水平面上，并共同以一水平速度v0向前运动，某时刻下面木板碰到水平面上固定的铁钉立即停止运动，为了使上面木板的前端不落在水平面上，求v0的大小范围。解．gLv0181．如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为mA=2.0kg和mB=1.0kg的小球A和B,A球与水平杆间动摩擦因数产μ=0.20,A、B间用不可伸长的轻绳相连，图示位置处OA=1.5m,OB=2.0m.g取10m/s2.(1）若用水平力F，沿杆向右拉A，使A由图示位置向右极缓慢地移动0.5m，则该过程中拉力F1做了多少功？(2）若用水平力F2沿杆向右拉A，使B以lm/s的速度匀速上升，则在B经过图示位置上升0.5m的过程中，拉力F2做了多少功？182．平板车，质量M=100千克，停在水平路面上，车身的平板离地面的高度h=1.25米，一质量m=50千克的小物块置于车的平板上，它到车尾端的距离b=1.00米，与车板间的滑动摩擦系数μ=0.20，如图所示。今对平板车施一水平方向的恒力，使车向前行驶，结果物块从车板上滑落。物块刚离开车板的时刻，车向前行驶的距离s0=2.0米。求物块落地时，落地点到车尾的水平距离s。不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦。取g=10米/秒2。解:设作用于平板车的水平恒力为F，物块与车板间的摩擦力为f，自车启动至物块开始离开车板经历的时间为t，物块开始离开车板时的速度为v，车的速度为V，则有(F-f)s0=(1/2)MV2①f(s0－b)＝(1/2)mv2②(F-f)t=MV③ft=m