2019文科数学高考真题解析

1绝密★启用前2019年全国1卷普通高等学校招生全国统一考试文科数学（答案及解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。从2020年起，参加本科院校招生录取的考生的总成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，其中选考科目每门满分100分，即高校招生录取总分满分值为750分。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设3i12iz，则z=（）A．2B．3C．2D．1【答案】C【解析】 z=3-i1+2i=3-i()1-2i()1+2i()1-2i()=15-75i，所以 z=125+4925=2.故答案选C2．已知集合1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB，，，则B∩CUA=（）A．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,7【答案】C【解析】 CUA=1,6,7{}，所以 B∩CUA=6,7{}.3．已知0.20.32log0.2,2,0.2abc，则（）A．B．C．D．abcacbcabbca2【答案】B【解析】∩ a=log20.2log21=0， b=20.220=1， c=0.20.30.20=1， c0\ acb4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm【答案】B【解析】设脖子下端至肚脐长度为 x，由题意得， 26x=5-12»0.618， x=260.618，可估算 40x50，则维纳斯身高 26+40+105h26+50+105，故选B.5．函数f(x)=2sincosxxxx在[—π，π]的图像大致为（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】由题意得， f-x()=-fx()，故为奇函数，排除A，又因为 fp()=sinp+pcosp+p2=pp2-10，故选D.6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【答案】C【解析】由题意得，每10人1组，每组抽1名，共100组，抽100名，第1组为1，2，…，10，第2组为11，12，…，20，以此类推，因为46号被抽到，故每组第6名学生被抽到，观察选项，C选项满足题意，故选C.7．tan255°=（）A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+3【答案】D【解析】8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【解析】4321cos0cos002即bbabbbabbabba9．如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A=12AB．A=12AC．A=112AD．A=112A【答案】A【解析】将A选项的运算公式代入程序框图，当K=1时，2121A，当K=2时，212121A即答案为A.10．双曲线C:22221(0,0)xyabab的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50D．1cos50【答案】D5【解析】由题可知50tanab，即50cos150cos50sin1150cos50sin222222222222eeaacab答案为D11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】由题可知2224cba，4123232cos2222bcbccbcacbA，即答案为A.12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AFFB││││，1ABBF││││，则C的方程为（）A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解析】当直线斜率不存在时，即1212BFABBFAF即1ABF为等边三角形，由几何关系知aAFAF23221即其标准为方程为B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2)3(exyxx在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】3yx【解析】xexxy)13(3'2，切点横坐标带入导数的斜率为3，点斜式得切线xy314．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若13314aS，，则S4=___________．【答案】58121,01,0FF()，()6【解析】设等比数列的公比为q，又1331,4aS=21qq，解得q=21-，S4=85，所有答案85.15．函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为___________．【答案】−4【解析】化简得,1cos3cos2)(2xxxf由二次函数对称轴得，当43cosx时取最大值，当1cosx时取得最小值-4.所以答案为-4.16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．【答案】2【解析】点P在平面ABC上的投影D在∠ACB的角平分线上，且PD就是点P到平面ABC的距离，过点P向BC作垂线，垂足为E，在RT△PCD和RT△PDC中利用勾股定理求得PD=2.三、解答题17．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（本小题12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8287【答案】(1)男、女顾客对该商场服务满意的概率分别为0.8、0.6；(2)有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010)4.76250507030K．由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．（本小题12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a10，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】(1)102nan；(2)110n【解析】（1）设na的公差为d．由95Sa得140ad．由a3=4得124ad．于是18,2ad．因此na的通项公式为102nan．（2）由（1）得14ad，故(9)(5),2nnnndandS.由10a知0d，故nnSa…等价于211100nn„，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{|110,}nnnN剟．19.（本小题12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.8（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】(1)证明过程详见解析；(2)41717【解析】（1）连结1,BCME.因为M，E分别为1,BBBC的中点，所以1MEBC∥，且112MEBC.又因为N为1AD的中点，所以112NDAD.由题设知11=ABDC∥，可得11=BCAD∥，故=MEND∥，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED∥.又MN平面1CDE，所以MN∥平面1CDE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，1DECC，所以DE⊥平面1CCE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面1CDE，故CH的长即为C到平面1CDE的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，9所以117CE，故41717CH.从而点C到平面1CDE的距离为41717.20．（本小题12分）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】(1)证明过程详见解析；(2)-0]（，【解析】（1）设()()gxfx，则()cossin1,()cosgxxxxgxxx.当π(0,)2x时，()0gx；当π,π2x时，()0gx，所以()gx在π(0,)2单调递增，在π,π2单调递减.又π(0)0,0,(π)22ggg，故()gx在(0,π)存在唯一零点.所以()fx在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0faf…，可得a≤0.10由（1）知，()fx在(0,π)只有一个零点，设为0x，且当00,xx时，()0fx；当0,πxx时，()0fx，所以()fx在00,x单调递增，在0,πx单调递减.又(0)0,(π)0ff，所以，当[0,π]x时，()0fx….又当0,[0,π]ax„时，ax≤0，故()fxax….因此，a的取值范围是(,0].21.（本小题12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=A，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．【答案】(1)26rr或；(2)存在定点(1,0)P，使得||||MAMP为定值.【解析】（1）因为M过点,AB，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线+=0xy上，且,AB关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，可设(,)Maa.因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为|2|ra.由已知得||=2AO，又MOAO，故可得2224(2)aa，解得=0a或=4a.11故M的半径=2r或=6r.（2）存在定点(1,0)P，使得||||MAMP为定值.理由如下：设(,)Mxy，由已知得M的半径为=|+2|,||=2rxAO.由于MOAO，故可得2224(2)xyx，化简得M的轨迹方程为24yx.因为曲线2:4Cyx以点(1,0)P为焦点，以直线1x为准线的抛物线，||=+1MPx