复变函数与积分变换----第四章----复旦大学出版社

§4.1复数项级数1.复数列和复数列的极限定义4.1设为一复数列，其中为一确定的复数.如果对任意的正数，存在正整数N，使得当nN时，有成立，则称a为复数列{an}当n时的极限，记作并称复数列{an}收敛于a.{}(1,2,)nan.nnnaiainaalimnnaa定理4.1复数列{an}收敛于a的充分必要条件是：lim,limnnnn证明如果，则对0，存在正整数N，使得当nN时，有limnnaanaa从而有nnaa所以有lim.nn同理有lim.nn反之，如果,对0，存在正整数N，使得当nN时，有lim,limnnnn,,22nn,nnnaalim.nnaa2.复级数设为一复数列，表达式称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n项部分和为{Sn}称为该级数的部分和数列.(1,2,3,)nnnain121nnnaaaa12,1,2,,nnSaaan1nna定义4.2若级数对应的部分和数列{Sn}收敛于常数S，即那么称为收敛的级数.数S叫做该级数的和，记为若不存在，则称为发散的级数.lim.nnSS1nna1.nnaSlimnnS1nna定理4.2复级数收敛于S的充要条件是实级数和分别收敛于和，其中1nna1nn1nni,(1,2,).nnnSan证明：121212()i()i.nnnnnnSaaa11,,nnniniii1nii1nii其中它们分别为实级数和的部分和.由定义4.2及定理4.1，Sn收敛于S的充要条件是{n}和{n}分别收敛于和，从而定理得证.定理4.3复级数收敛的必要条件是1nnalim0.nna证明：级数收敛的充要条件是实级数和均收敛，其中1nna1nn1nn(1,2,).nnnan实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零.lim0nnlim0nnlim0.nna从而得到定义4.3对于复级数，若收敛，则称级数绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛.1nna1nna1nna1nna定理4.4如果级数绝对收敛，则也收敛，且不等式成立.1nna1nna11nnnnaa证明：i,1,2,nnnan记2211.nnnnna由于2222,nnnnnn1nn1nn和均收敛.于是1nna是收敛的.11kkkkaa11limkknkkaa故有11limlim,kknnkkaa11kkkkaa即推论4.1设.则级数绝对收敛的充要条件是级数和都绝对收敛.i,1,2,nnnan1nna1nn1nn例4.1下列级数是否收敛？是否绝对收敛？i111(3)1(1)11);2)(1);3)[]!3πennnnnniinnnn解1)3(3),!!nninn由正项级数的比值判别法和收敛，故原级数为绝对收敛.13!nnn2)i111(1)(1)cosi(1)sin,nnnnnne11lim(1)cos1,lim(1)sin0,nnnnnni1lim(1)1.πennni11(1)nnne发散.3)1(1)nnn113nn因为收敛，也收敛，故原级数收敛.但为条件收敛，原级数为条件收敛.1(1)nnn§4.2幂级数1.幂级数的概念幂级数，是指形如的表达式，它的一般项是幂函数,这里和z0是复常数，而z为复变数.001000()()()nnnnnazzaazzazz0()nnazz(0,1,)nan给定z的一个确定值z1，则为复数项级数00()nnnazz100110100()()()nnnnnazzaazzazz若该复数项级数收敛，则称幂级数在z1处收敛，z1称为幂级数的一个收敛点，否则则称为发散点.若D为幂级数所有收敛点的集合，则级数在D上的和确定一个函数S(z):称S(z)为幂级数的和函数.0100()()(),nnSzaazzazzzD假定z0=0,幂级数成为010.nnnnnazaazaz定理4.5如果幂级数在收敛，则对于满足的z，级数必绝对收敛；如果在处级数发散，则对于的z，级数必发散.0nnnaz1(0)zz1zz2zz2zz证明：由于级数收敛，有10nnnaz1lim0,nnnaz因而存在正数M，使对所有的n成立1nnMaz如果，那么而11,zqz1zz11.nnnnnnzMqazazz由于是公比小于1的等比数列，故收敛.0nnMq010nnnnnaazazaz收敛从而级数是绝对收敛的.0nnnaz2.收敛半径和收敛圆010.nnnnnazaazaz幂级数的收敛情况（1）除z=0外，级数处处发散；（2）对于所有z级数都收敛，级数在复平面内处处绝对收敛；（3）存在一个正实数R,使级数在|z|R中收敛，在|z|R中发散该正实数R称为级数的收敛半径，以原点为中心，半径为R的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数来说，它的收敛圆是以z0为中心的圆盘.00()nnnazz例4.2论幂级数的收敛范围与和函数.201nnnzzzz解：级数的部分和为211,1;()11,1.nnnzzSzzzzznz该级数的收敛半径为1，收敛圆为|z|1且在圆周|z|=1上处处发散.于是1,1;lim()11.发散,nnzSzzz3.收敛半径的求法定理4.6若的系数满足则(1)当时，；(2)当时，(处处收敛)；(3)当时，R=0(仅有一个收敛点z=0).0nnnaz1lim,nnnaa01R0R证明：考虑正项级数010nnnnnaazazaz111limlim.nnnnnnnnaazzzaza若，由正项级数的比值判别法知，当即时，收敛，从而收敛；01z1z0nnnaz0nnnaz当，即时，1z1z11lim1nnnnnazaz故当n充分大时，有，所以，当，一般项不能趋于零，级数发散，故收敛半径11nnnnazaznnnaz1R0nnnaz若，则,对任何z，级数收敛，从而收敛，即收敛半径.01z0nnnaz0nnnazR若，对任意，当n充分大时，必有，由此得发散，故收敛半径R=0.0z11nnnnazaz0nnnaz定理4.7若幂级数的系数满足则(1)当时，；(2)当时，；(3)当时，.0nnnazlim,nnna01R0R0R.4.幂级数的运算及性质性质4.1若幂级数和的收敛半径分别为R1和R2，则幂级数的收敛半径不小于，且在内有：0nnnaz0nnnbz0()nnnnabz12min(,)RRRRz000().nnnnnnnnnnazbzabz性质4.2若幂级数和的收敛半径分别为R1和R2，则幂级数的收敛半径不小于，且在内有：0nnnaz0nnnbz20001100211200()()()niniiabababzabababzabz12min(,)RRRRz0000().nnnnnnininnniazbzabz例4.3设有幂级数与，求的收敛半径.0nnz01(01)1nnnzaa01(1)1nnnza01nnnnaza解和的收敛半径都为10nnz011nnnza的收敛半径为.01nnnnaza1(1)a成立的范围仍为|z|1，00011(1)11nnnnnnnnzzzaa当时，等式左边的两个级数都不收敛，所以等式没有意义.11za定理4.8设幂级数的收敛半径为R，那么(1)它的和函数在收敛圆内是解析函数.(2)的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即.(3)在内可以逐项积分，即其中C为内的曲线.00()nnnazz00()()nnfzazz0zzR()fz100()()nnnfznazz()fz0zzR00()()ddnnnCCfzzazzz0zzR例4.4求出下列幂级数的和函数.1);2).11(21)nnnz0(1)nnnz解：1)1121limlim2,21nnnnnnaa故收敛半径为.同样和的收敛半径分别为和12R112nnnz11nnz112R21R当时，有12z1111111111(21)22(2)1112().121(12)(1)nnnnnnnnnnnnzzzzzzzzz2)故收敛半径为R=1.12limlim1,1nnnnanan在|z|1内取一条连接0和z简单曲线C，由逐项积分性质，得100000(1)(1)1ddzznnnnnnznzznzzzz201(1)(),11(1)nnznzzzz§4.3解析函数的泰勒展开定理4.9设K表示以z0为中心，半径为r的一个圆，在K内解析，则可以在K内展开成幂级数，即并称它为在z0的泰勒(Taylor)展开式，上式右端的级数称为的泰勒级数.()fz()fz()fz()fz()000()()(),,!nnnfzfzzzzKn证明：任意取定，再取正数，使，且zKr0zzK根据柯西积分公式，得01()()2zffzizdπ1000000000111(1)()1(),nnzzzzzzzzzzzz010100()10001()()()()()2()()()().!dπNnNnnznNnNnffzzzRzizfzzzRzn其中00101()()(()).2()dπnNnnNzfRzzziz对给定的z，证明lim()0NNRz0,.()Mzf令，则.由于在K内解析，因此在上连续，于是在上有界，即存在一个正常数M，使得00zzzzqz01q()fz()f0z()f0z00010000()1()()()2()1212.21nNnnNznnNzNnnNfzzRzzfzzzzMMqqqddlim0,NNqlim()0.NNRz所以因为N令，则有()000()()(),!nnnfzfzzzn由z的任意性，故上式在K内成立.证展开式的唯一性假设有展开式00()().nnnfzazz()0()(1)(1)().knknnkfznnnkazz令，