复变函数与积分变换重要知识点

复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬1复变函数与积分变换重要知识点【多关注用红色标记的部分】第一章复数与复变函数【重要公式】1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:4.共轭复数的性质:【即：,22zzzzxyi】【注：复数不能比较大小】2210005;62,rgz=arg.zzzzArgzkkz辐角：为任意整数其中把满足-的称为A的主值，记作，（7）复数和差的模的性质1212;zzzz.)2(2121zzzz111222,,zxiyzxiy设两复数121212()().zzxxiyy1212122112()().zzxxyyixyxy112122112222222222.zxxyyxyxyizxyxy1212(1);zzzz1212;zzzz1122;zzzz(2);zz22(3)Re()Im();zzzz(4)2Re(),2Im().zzzzziz0z辐角的主值argzarctan,yx0,xπ,20,0,xyarctanπ,yx0,0,xyπ,0,0.xy(arctan)22yx其中1212zzzz表示点和之间的距离.1212(1);zzzz复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬2（8）复数的三角表示式：复数的指数表示式：（9）复平面上直线的参数方程：复平面上以0z为圆心，为r半径的圆的方程0,02.izzre（10）复数的乘幂与方根：1.乘积与商：复数的n次幂：棣莫佛公式：方程nwz的根：第二章解析函数1.复变函数连续、可导（可微）与解析之间有如下关系：设0()z,wfzDD定义在区域内，属于则2.3.4.0()zfz函数在解析等价于0()zfz在可导，且在0z的邻域内也可导。5.f(z)在内D解析f(z)在D内可导f(z)在0z解析f(z)在0z可导f(z)在0z连续(cossin)zriizre121()zztzz(,),t参数12121212[cos()sin()]zzrri1212Arg()ArgArg.zzzz111,izre222,izre21()2211.izrezr则,(cossin).nnnzrnin对于任何正整数有1,,.nnznz如果我们定义那么当为负整数时上式仍成立1,cossin,zrzi当的模即(cossin)cossin.ninin12π2πcossinnnkkwzrinn(0,1,2,,1)kn00().wfzzz函数在可导与在可微是等价的()(),.PzQz任何一个有理分式函数在不含分母为零的点的区域内解析使分母为零的点是它的奇点00()(,)(,)z:(,)(,),,.fzuxyivxyDuxyvxyzuvuvxyyx函数在区域内一点可导的充要条件是与在点可微并且在该点满足柯西－黎曼(C-R)方程复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬36.指数函数:（其中f(z)的周期为2i）对数函数：【注：对数函数在z=0处和复实轴上不连续】复变数对数函数保持了实变函数的性质：（但等式n1nLnznLnzLnzLnzn以及不在成立.）7.乘幂与幂函数8.三角函数和双曲函数.2sinieeziziz正弦函数为,个值具有qab)2arg(lnkaqpiaqpe)]2arg([lnkaiabe.f(cossin).zxzxiyeeyiyz设称(z)=为的指数函数LnlnArgwzzizlnarg2zizki(0,1,2,).klnlnarg(arg)Ln(),zzizzz其中称为对数函数的支所以主值Lnln2(0,1,2,).zzkik0,Lnlnln,.Ln2ln2zxzzx特别的，当时的主值是实变数对数函数（例如的主值就是）1212(1)Ln()LnLn,zzzz1122(2)LnLnLn,zzzzba(1),b当为整数时Lnbbaae(lnarg)2baiakbieln,bae.ba具有单一的值(2)(,0),pbpqqq当与为互质的整数时[ln(arg2)]paiakbqaelncos(arg2π)sin(arg2π)paqppeakiakqq0,1,2,,(1).kq即取时相应的值注：上式是推导过程，只需记住ba=lnbae，另外这里的lna与实变函数中的lna不同，这里的a可以取负值，而实变函数则不可以！cos,2izizeez(1)余弦函数为,sin,cos.zz容易证明是奇函数是偶函数且sin(2)sin,cos(2)cos.zzzz,zyi当为纯虚数时coscosh,2yyeeyiysinsinh.2yyeeyiiyi注：可以看出,sin,cos.yyiyi当时，因此sin1cos1zz和在复数范围内不在成立。另外，在复数范围内凡涉及到比较大小的问题均不成立。所以，22sin0,cos0zz在复数中均不成立。复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬4双曲函数,22zzzzeeeeshzchz；shz奇函数，chz是偶函数。,shzchz在z平面内解析，且,shzchzchzshz第三章复变函数的积分1.复变函数积分的计算方法：（1）若光滑曲线C的参数方程可表示为：,zztxtiytt，则()dCfzz（2）若()fzuiv，则()dCfzzdddd.CCuxvyivxuy（即为()fzdz与相乘后求积分得到）2.重要公式（必考点）：0101d()nzzrzzz2,0,0,0.inn0nczzdz2,1,0,1.inn0其中C为包含z的任意闭曲线3．积分的性质（联想高等数学中积分的性质）4．柯西－古萨基本定理（C-G定理）及其推论【注：C-G定理反过来不一定成立】C-G定理的两条推论：（1）如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.5．复合闭路定理[()]()d.fztztt(1)()d()d;CCfzzfzz(2)()d()d;()CCkfzzkfzzk为常数(3)[()()]d()d()d;CCCfzgzzfzzgzz(4),()(),()d()d.CCCLfzCfzMfzzfzsML设曲线的长度为函数在上满足那末估值不等式(),():()d0.cfzBfzBCfzz如果函数在单连通域内处处解析那末函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零()fz函数在,BC内与上解析,BBC即在闭区域上解析()d0.cfzz那末()fz函数在,B内解析,BBC在闭区域上连续那末1(1)()d()d,knCkCfzzfzz;kCC其中及均取正方向(2)()d0.fzz1212,,,,(:,,,,).nnCCCCCCCC这里为由组成的复合闭路其方向是按逆时针进行按顺时针进行复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬56．柯西（Cauchy）积分公式【必考点】7．解析函数的高阶导数【必考点】第四章级数【注：由于本章与高等数学中的级数联系比较紧密，在这里我就不做过多的总结了，本章核心考点为洛朗级数，纵观往届考题此为必考点，希望大家要认真复习好该部分内容】几个常用的泰勒级数【最后一个一定要记住】：1||,)1(1112zzzzznn第五章留数1．孤立奇点：（1）可去奇点：如果洛朗级数中不含0zz的负幂项,那末孤立奇点0z称为fz的可去奇点.（2）极点：如果洛朗级数中只有有限多个0zz负幂项,其中关于10zz的最高幂为0mzz那末孤立奇点0z称为函数fz的m级极点.（3）本性奇点：如果洛朗级数中含有无穷多个0zz的负幂项,那末孤立奇点0z称为fz的本性奇点.【注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点，见书P102】2．三类奇点的判别方法：（1）由定义判断；（2）判断极限若极限存在且为有限值,则0z的为fz的可去奇点；若则0z为fz的极点；若0lim()zzfz不存在且不为，则0z为fz的本性奇点。000(),,1(),,()d.2πCfzDCDfzDzCfzzizz如果函数在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭曲线它的内部完全含于为内任一点那末()0100!()(),:()d2π()(1,2,)(),.nnCnfzfznfzzizznCfzDzD解析函数的导数仍为解析函数它的阶导数为其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线而且它的内部全含于2012!!!nnznzzzeznn3521sin(1),3!5!(21)!nnzzzzzn()R242cos1(1),2!4!(2)!nnzzzzn()R()R0lim():zzfz0lim()zzfz复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬63．函数零点与奇点的关系：若0z是)(zf的m级极点，那么0z就是)(1zf的m级零点.反过来也成立。几个重要结论若za分别是z与z的m级与n级零点，则za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的mn级零点；当mn时，za是zz的nm级极点；当mn时，za是zz的可去奇点；当mn时，za是zz的l级零点，min(,)lmn；当mn时，za是zz的l级零点，其中()lmn。4．留数的计算方法：（1）如果0z为fz的可去奇点,(2)如果0z为fz的本性奇点,则需将fz展开成洛朗级数求1C（3）如果0z为fz的就极点则有如下计算规则：规则1：0z为一级极点，)()(lim]),([Re000zfzzzzfszz；规则2：0z为m级极点，010011Re[(),]lim{()()}(1)!mmmzzdsfzzzzfzmdz；规则3：设PzfzQz，Pz及Qz在0z解析，00Pz，00Qz，'00Qz，那么0z为fz的一级极点，而000Re[,]PzPzszQzQz在无穷远点处留数的计算：0Res[(),]0.fzz则211Res[(),]Res,0fzfzz1Res[(),]fzc复变函数与积分变换复习要点2013年11月中旬至12月中旬7第六章共形映射1．0()fz的几何意义：0Cz曲线在的伸缩率0Arg()fz的几何意义：0()Cwfzz曲线经映射后在的转动角2.一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而成:（平移映射）（旋转与伸长(或缩短)变换）3.圆内一点1z关于圆周C（假设该圆的圆心为0z，半径为r）的对称点2z的求法：运用公式21020zzzzr【注意运用此公式得出的结果一定要检验，即所求对称点2z一定在点0z，1z连线的延长线上】4.有关分式线性映射及几个初等函数所构成的映射这两个内容很重要，希望大家把书上的几个例题看懂，在这里不做过多的总结。Fourier变换与Laplace变换1.Fourier变换式：dtetf