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1数理方法CH9作业题解答P170.习题9.12.求下列函数的Fourier变换(2)2xeh-0h解:∫∫∫∞∞--∞∞--∞∞----=-==xdxedxxixedxeeeFxxxixx)sin(cos][2222(上式虚部被积函数是奇函数,积分结果为零,故只剩实部)根据教材P91积分公式aebxdxeabaxp422cos-∞∞--∫=,上式积分结果为:hphw42-e(3)0,cos,sin22hhhxx解:][sin][cos]sin[cos][22222xiFxFxixFeFxihhhhh+=+=而)2(1][22222222)2(44)4(hwhhhwhhwhwhwhwhwhh-⋅===∫∫∫∞∞---∞∞--+-∞∞--xdeedxedxeeeFxiiixxixixixi记=x)2(hwh-x,上式为:][2xieFh=xhxhwdeeii∫∞∞--⋅2241由教材P90积分公式∫∞∞-=42ppiixedxe,得][2xieFh)44(4422phwphwhphp---==iiieee比较上式两边的实部和虚部,得到:)44cos(][cos22phwhph-=xF)44sin(][sin22phwhph--=xF7.设rzyxrv=++=222,=++=232221,证明(1)24]1[wp=rF;(2)224]1[mwpm+=-rerF)0(m证明:(1)可从右边推得左边。wjqqwwppwwppwpqwppwdddedeFririsin1)2(44)2(1]4[2cos0200232321∫∫∫∫∫∫∞∞∞-⋅-==vvvrrdrrdrieedxderirirxi122sin21100011=⋅==-==∫∫∫∫∞∞-∞-pp(其中记x=qcos,倒数第2步用了教材P90的积分公式:2sin0p=∫∞dxxx)证明:(2)可从左边推至右边。drddreerrdeererFririrrrjqqqwppwmmmsin11]1[2cos0200-∞∞∞-⋅--∫∫∫∫∫∫--==vvv记x=qcos,则rdrerieedrrerdxedxdrreererFrrrririrxirxirmmmwppp∫∫∫∫∫∞--∞--∞----===02011201121)(212]1[2222044sin4wmpwmwwpwwpm+=+⋅==∫∞-drrer(上式最后一步积分由连续两次应用分部积分法即可求得)P175习题9.26.求解热传导方程xxtuau2=)0,(∞-∞tx的初值问题,已知(1)xxusin)0,(=(2)1)0,(2+=xxu(1)解:定解问题为:⎩⎨⎧=∞-∞=2..............................................sin)0,(1...).........0,(2xxutxuauxxt对定解问题1~2式中各项以x为变量进行Fourier变换,记∫∞∞--==),(~),()],([tudxetxutxuFxiww∫∞∞--==)(~sin][sinwjwdxxexFxi则1~2式化为⎪⎩⎪⎨⎧==+4...........................).........(~)0,(~3..................0),(~),(~22wj的解为:5............................)(~),(~22taetuwwjw-=下面求5式的逆变换,6..].........[*sin])(~[)],(~[),(2222111tataeFxeFtuFtxu===wwpwp][01222222∫∫∞-∞∞----==由教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=,上式积分结果为:3taxtaxtaetataeeF222222424121211][----==pppw代入6式,并代入卷积定义式,得xxpxwdxetaeFxtxutata)sin(21][*sin),(222241-==∫∞∞----xxxpxdxxetata)sincoscos(sin21224-=∫∞∞--xxpxxpxxdextadxetatatacossin21cossin21222244∫∫∞∞--∞∞--==再一次应用教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=,上式积分结果为:xetaxetatxutatasin4sin21),(222441-⋅-=⋅=pp(2)解:定解问题为:⎪⎩⎪⎨⎧+=∞-∞=2..............................................1)0,(1.....).........0,(22xxutxuauxxt对定解问题1~2式中各项以x为变量进行Fourier变换,记∫∞∞--==),(~),()],([tudxetxutxuFxiww∫∞∞--=+=+)(~)1(]1[22wjwdxexxFxi则1~2式化为⎪⎩⎪⎨⎧==+4...........................).........(~)0,(~3..................0),(~),(~22wj的解为:5............................)(~),(~22taetuwwjw-=下面求5式的逆变换,6..].........[*)1(])(~[)],(~[),(22221211tataeFxeFtuFtxu===wwpwp][01222222∫∫∞-∞∞----==由教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=,上式积分结果为:4taxtaxtaetataeeF222222424121211][----==pppw代入6式,并代入卷积定义式,得xxpxwdxetaeFxtxutata]1)([21][*)1(),(24122222+-=+=∫∞∞----xxxpxxdedxetatata∫∫∞∞--∞∞--+-=2222424)({21}})2({2122224224xxxxpxxdedxxetatata∫∫∞∞--∞∞--+-+=}4)41(214{21223222tatataxta⋅+⋅+⋅=-pppp1222++=tax注:上式最后一步积分时,用的是教材P88第9题中的两个积分公式:∫∞∞--=adxeaxp2以及232212-∞∞--∫=adxexaxp
本文标题:数学物理方法姚端正CH9作业解答
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