数学物理方法姚端正CH9作业解答

1数理方法CH9作业题解答P170.习题9.12.求下列函数的Fourier变换（2）2xeh-0h解：∫∫∫∞∞--∞∞--∞∞----=-==xdxedxxixedxeeeFxxxixx)sin(cos][2222（上式虚部被积函数是奇函数，积分结果为零，故只剩实部）根据教材P91积分公式aebxdxeabaxp422cos-∞∞--∫=，上式积分结果为：hphw42-e(3)0,cos,sin22hhhxx解：][sin][cos]sin[cos][22222xiFxFxixFeFxihhhhh+=+=而)2(1][22222222)2(44)4(hwhhhwhhwhwhwhwhwhh-⋅===∫∫∫∞∞---∞∞--+-∞∞--xdeedxedxeeeFxiiixxixixixi记=x)2(hwh-x，上式为：][2xieFh=xhxhwdeeii∫∞∞--⋅2241由教材P90积分公式∫∞∞-=42ppiixedxe，得][2xieFh)44(4422phwphwhphp---==iiieee比较上式两边的实部和虚部，得到：)44cos(][cos22phwhph-=xF)44sin(][sin22phwhph--=xF7.设rzyxrv=++=222，=++=232221，证明（1）24]1[wp=rF；（2）224]1[mwpm+=-rerF)0(m证明：（1）可从右边推得左边。wjqqwwppwwppwpqwppwdddedeFririsin1)2(44)2(1]4[2cos0200232321∫∫∫∫∫∫∞∞∞-⋅-==vvvrrdrrdrieedxderirirxi122sin21100011=⋅==-==∫∫∫∫∞∞-∞-pp（其中记x=qcos，倒数第2步用了教材P90的积分公式：2sin0p=∫∞dxxx）证明：（2）可从左边推至右边。drddreerrdeererFririrrrjqqqwppwmmmsin11]1[2cos0200-∞∞∞-⋅--∫∫∫∫∫∫--==vvv记x=qcos，则rdrerieedrrerdxedxdrreererFrrrririrxirxirmmmwppp∫∫∫∫∫∞--∞--∞----===02011201121)(212]1[2222044sin4wmpwmwwpwwpm+=+⋅==∫∞-drrer（上式最后一步积分由连续两次应用分部积分法即可求得）P175习题9.26.求解热传导方程xxtuau2=)0,(∞-∞tx的初值问题，已知（1）xxusin)0,(=（2）1)0,(2+=xxu（1）解：定解问题为：⎩⎨⎧=∞-∞=2..............................................sin)0,(1...).........0,(2xxutxuauxxt对定解问题1~2式中各项以x为变量进行Fourier变换，记∫∞∞--==),(~),()],([tudxetxutxuFxiww∫∞∞--==)(~sin][sinwjwdxxexFxi则1~2式化为⎪⎩⎪⎨⎧==+4...........................).........(~)0,(~3..................0),(~),(~22wj的解为：5............................)(~),(~22taetuwwjw-=下面求5式的逆变换，6..].........[*sin])(~[)],(~[),(2222111tataeFxeFtuFtxu===wwpwp][01222222∫∫∞-∞∞----==由教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=，上式积分结果为：3taxtaxtaetataeeF222222424121211][----==pppw代入6式，并代入卷积定义式，得xxpxwdxetaeFxtxutata)sin(21][*sin),(222241-==∫∞∞----xxxpxdxxetata)sincoscos(sin21224-=∫∞∞--xxpxxpxxdextadxetatatacossin21cossin21222244∫∫∞∞--∞∞--==再一次应用教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=，上式积分结果为：xetaxetatxutatasin4sin21),(222441-⋅-=⋅=pp（2）解：定解问题为：⎪⎩⎪⎨⎧+=∞-∞=2..............................................1)0,(1.....).........0,(22xxutxuauxxt对定解问题1~2式中各项以x为变量进行Fourier变换，记∫∞∞--==),(~),()],([tudxetxutxuFxiww∫∞∞--=+=+)(~)1(]1[22wjwdxexxFxi则1~2式化为⎪⎩⎪⎨⎧==+4...........................).........(~)0,(~3..................0),(~),(~22wj的解为：5............................)(~),(~22taetuwwjw-=下面求5式的逆变换，6..].........[*)1(])(~[)],(~[),(22221211tataeFxeFtuFtxu===wwpwp][01222222∫∫∞-∞∞----==由教材P91积分公式aebxdxeabaxp402221cos-∞-∫=，上式积分结果为：4taxtaxtaetataeeF222222424121211][----==pppw代入6式，并代入卷积定义式，得xxpxwdxetaeFxtxutata]1)([21][*)1(),(24122222+-=+=∫∞∞----xxxpxxdedxetatata∫∫∞∞--∞∞--+-=2222424)({21}})2({2122224224xxxxpxxdedxxetatata∫∫∞∞--∞∞--+-+=}4)41(214{21223222tatataxta⋅+⋅+⋅=-pppp1222++=tax注：上式最后一步积分时，用的是教材P88第9题中的两个积分公式：∫∞∞--=adxeaxp2以及232212-∞∞--∫=adxexaxp