高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.03limsintanln12xxxx.2.2131lim2xxxxx.3.已知212lim31xxaxbx，其中为ba,常数，则a，b.4.若2sin2e1,0,0axxxfxxax在,上连续，则a.5.曲线21()43xfxxx的水平渐近线是，铅直渐近线是.6.曲线121exyx的斜渐近线方程为.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的1,0，总存在整数N，当Nn时，恒有2axn”是数列nx收敛于a的.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设2,02,0xxgxxx，2,0,0xxfxxx则gfx.A.22,02,0xxxxB.22,02,0xxxxC.22,02,0xxxxD.22,02,0xxxx3.下列各式中正确的是.A．01lim1exxxB.01lim1exxxC.1lim1exxxD.-11lim1exxx4.设0x时，tane1x与nx是等价无穷小，则正整数n.A.1B.2C.3D.45.曲线221e1exxy.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是.A.1sin,(0,1]xxxB.1sin,(0,)xxxC.11sin,(0,1]xxxD.1sin,(0,)xxx三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.222lim413xxxx2．120limexxxx3.1lim123nnnn4．221sinlim21xxxx5.设函数1,0aaaxfx，求21limln12nfffnn.6．1402esinlim1exxxxx7．01coslim1cosxxx四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2212lim22xaxxbxx2．2lim21xxaxbx五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0xxabxfxababxx在0x处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设sinsinsin()limsinxtxtxtfxx，求()fx的间断点并判定类型.（本题7分）七、设()fx在[0,1]上连续，且(0)(1)ff.证明：一定存在一点10,2，使得1()2ff.（本题6分）第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设()fx在0x可导，且00()0,()1fxfx，则01limhhfxh.2.设21cosfxx，则()fx.3.2dd1xxx.4.设sin(e)xyf，其中()fx可导，则dy.5.设arccosyx，则12y.6.曲线1sinxyxy在点1,的切线方程为.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x处可导的是.A.||yxB.|sin|yxC.lnyxD.|cos|yx2.设()yfx在0x处可导，且0()2fx，则000(2)()limxfxxfxxx.A.6B.6C.16D.163.设函数()fx在区间(,)内有定义，若当(,)x时恒有2|()|fxx，则0x是()fx的.A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0fD.可导的点，且(0)0f4.设2sin,0(),0xxfxxx，则在0x处()fx的导数.A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()fu可导，2()yfx当自变量x在1x处取得增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f.A.1B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)2lne1exxy(2)111yxx(3)aaxaxayxaa(4)cos(sin)xyx2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)2lnsinyxxx(2)21cotexy(3)211xyxx3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）2coslnyxx（2）11xyx4.设e,1(),1xxfxaxbx在1x可导，试求a与b.（本题6分）5.设sin,0()ln(1),0xxfxxx，求'()fx.（本题6分）6.设函数()yyx由方程22ln1xxyy所确定，求dy.（本题6分）7.设()yyx由参数方程lntancos2sintxatyat，求22dd,ddyyxx.（本题6分）8.求曲线3213122txtytt在1t处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若0,0ab均为常数，则30lim2xxxxab.2.2011limtanxxxx.3.30arctanlimln(12)xxxx.4.曲线2exy的凹区间，凸区间为.5.若()exfxx，则()()nfx在点x处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设,ab为方程()0fx的两根，()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，则()fx0在(,)ab内.A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设()fx在0x处连续，在0x的某去心邻域内可导，且0xx时，0()()0xxfx，则0()fx是.A.极小值B.极大值C.0x为()fx的驻点D.0x不是()fx的极值点3.设()fx具有二阶连续导数，且(0)0f，0()lim1||xfxx，则.A.(0)f是()fx的极大值B.(0)f是()fx的极小值C．(0,(0))f是曲线的拐点D．(0)f不是()fx的极值，(0,(0))f不是曲线的拐点4.设()fx连续，且(0)0f，则0，使.A.()fx在(0,)内单调增加.B.()fx在(,0)内单调减少.C.(0,)x，有()(0)fxfD.(,0)x，有()(0)fxf.三、解答题(共73分)1.已知函数()fx在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f，证明在(0,1)内至少存在一点使得()()tanff.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0ab时，lnbabbabaa.（2）当02x时，2sinxxx.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）0ee2limsinxxxxxx（2）21sin0lim(cos)xxx（3）10(1)elimxxxx4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）1233()(1)fxxx（2）2,0()1,0xxxfxxx5.求2lnxyx的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程1ln0exx只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.2.3.，4.5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.C2.D3.D4.A5.D6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．.5..6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.2.3.4.5.6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.D2.A3.C4.D5.D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4)两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2).(3).3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1．2．3．4.，5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4.C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，，令得驻点，令得；列表得：--+++-+++-单减凸单减凹极小值点单增凹拐点单增凸6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．