高等数学习题集及解答

1第一章函数、极限与连续(A)1．区间,a表示不等式()A．xaB．xaC．xaD．xa2．若13tt，则13t()A．13tB．26tC．29tD．233369ttt3．设函数xxxxfarcsin2513ln的定义域是()A．25,31B．25,1C．1,31D．1,14．下列函数xf与xg相等的是()A．2xxf，4xxgB．xxf，2xxgC．11xxxf，11xxxgD．112xxxf，1xxg5．下列函数中为奇函数的是()A．2sinxxyB．xxey2C．xxxsin222D．xxxxysincos26．若函数xxf，22x，则1xf的值域为()A．2,0B．3,0C．2,0D．3,07．设函数xexf(0x)，那么21xfxf为()A．21xfxfB．21xxfC．21xxfD．21xxf8．已知xf在区间,上单调递减，则42xf的单调递减区间是()A．,B．0,C．,0D．不存在9．函数xfy与其反函数xfy1的图形对称于直线()A．0yB．0xC．xyD．xy210．函数2101xy的反函数是()A．2lgxxyB．2logxyC．xy1log2D．2lg1xy11．设函数是无理数是有理数xxaxfx,0,10a，则()A．当x时，xf是无穷大B．当x时，xf是无穷小C．当x时，xf是无穷大D．当x时，xf是无穷小12．设xf在R上有定义，函数xf在点0x左、右极限都存在且相等是函数xf在点0x连续的()A．充分条件B．充分且必要条件C．必要条件D．非充分也非必要条件13．若函数1,cos1,2xxxaxxf在R上连续，则a的值为()A．0B．1C．-1D．-214．若函数xf在某点0x极限存在，则()A．xf在0x的函数值必存在且等于极限值B．xf在0x函数值必存在，但不一定等于极限值C．xf在0x的函数值可以不存在D．如果0xf存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是()A．以0为极限B．以1为极限C．以nn2为极限D．不存在在极限16．xxx1sinlim()A．B．不存在C．1D．017．xxx211lim()3A．2eB．C．0D．2118．无穷小量是()A．比零稍大一点的一个数B．一个很小很小的数C．以零为极限的一个变量D．数零19．设31,110,201,2xxxxxfx则xf的定义域为，0f=，1f=。20．已知函数xfy的定义域是1,0，则2xf的定义域是。21．若xxf11，则xff，xfff。22．函数1xey的反函数为。23．函数xysin5的最小正周期T。24．设211xxxf，则xf。25．13limnnnx。26．nnn31913112141211lim。27．xxxlnlim0。28．503020152332limxxxx。29．函数2,321,11,xxxxxxxf的不连续点为。30．nnnx3sin3lim。31．函数112xxf的连续区间是。432．设0,0,2xxxbaxbaxxf0ba，xf处处连续的充要条件是b。33．若0,10,1xxxf，xxgsin，复合函数xgf的连续区间是。34．若01lim2baxxxx，a，b均为常数，则a，b。35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1)221xxy，(2)323xxy，(3)2211xxy，(4)11xxxy(5)1cossinxxy，(6)2xxaay36．若tttttf552222，证明tftf1。37．求下列函数的反函数(1)122xxy，(2)11sin21xxy38．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式39．设xxxxxxf0,10,sin2，求xfx0lim。40．设3212222nnnxn，求nnxlim。41．若21xxf，求xxfxxfx0lim。yy211xx-1图1-1图1-2542．利用极限存在准则证明：11211lim222nnnnnn。43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1)21xxy，(2)221xxy，(3)xxy，(4)xy44．设21,11,2110,xxxxxf，问：(1)xfx1lim存在吗？(2)xf在1x处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。45．设1,310,12xxxxxf，(1)求出xf的定义域并作出图形。(2)当21x，1，2时，xf连续吗？(3)写出xf的连续区间。46．设2,420,42,0,22xxxxxxf，求出xf的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47．根据连续函数的性质，验证方程135xx至少有一个根介于1和2之间。48．验证方程12xx至少有一个小于1的根。(B)1．在函数xf的可去间断点0x处，下面结论正确的是()A．函数xf在0x左、右极限至少有一个不存在6B．函数xf在0x左、右极限存在，但不相等C．函数xf在0x左、右极限存在相等D．函数xf在0x左、右极限都不存在2．设函数0,00,sin31xxxxxf，则点0是函数xf的()A．第一类不连续点B．第二类不连续点C．可去不连续点D．连续点3．若0lim0xfx，则()A．当xg为任意函数时，有0lim0xgxfxx成立B．仅当0lim0xgxx时，才有0lim0xgxfxx成立C．当xg为有界时，能使0lim0xgxfxx成立D．仅当xg为常数时，才能使0lim0xgxfxx成立4．设xfxx0lim及xgxx0lim都不存在，则()A．xgxfxx0lim及xgxfxx0lim一定不存在B．xgxfxx0lim及xgxfxx0lim一定都存在C．xgxfxx0lim及xgxfxx0lim中恰有一个存在，而另一个不存在D．xgxfxx0lim及xgxfxx0lim有可能存在5．xxxxsin1sinlim20的值为()A．1B．C．不存在D．06．211sinlim221xxxx()A．31B．31C．0D．327．按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是()7A．142xxx(x)B．111xx(x)C．x21(0x)D．xxsin(0x)8．当0x时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是()A．xxsinB．x1lnC．xxsin2D．1xe9．设函数xxg21，221xxxgf，则21f为()A．30B．15C．3D．110．设函数422xxf(20x)的值域为E，1222xxxg的值域为F，则有()A．FEB．FEC．FED．FE11．在下列函数中，xf与xg表示同一函数的是()A．1xf，01xxgB．xxf，xxxg2C．2xxf，xxgD．33xxf，xxg12．与函数xxf2的图象完全相同的函数是()A．xe2lnB．x2arcsinsinC．xe2lnD．x2sinarcsin13．若1x，下列各式正确的是()A．11xB．12xC．13xD．1x14．若数列nx有极限a，则在a的领域之外，数列中的点()A．必不存在B．至多只有限多个C．必定有无穷多个D．可以有有限个，也可以有无限多个15．任意给定0M，总存在0X，当Xx时，Mxf，则()A．xfxlimB．xfxlimC．xfxlimD．xfxlim816．如果xfxx0lim与xfxx0lim存在，则()A．xfxx0lim存在且00limxfxfxxB．xfxx0lim存在，但不一定有00limxfxfxxC．xfxx0lim不一定存在D．xfxx0lim一定不存在17．无穷多个无穷小量之和，则()A．必是无穷小量B．必是无穷大量C．必是有界量D．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18．1lnarccos2xy，则它的连续区间为()A．1xB．2xC．1,22,1eeD．1,22,1ee19．设nxnxxfn13lim，则它的连续区间是()A．,B．nx1(n为正整数)处C．,00,D．0x及nx1处20．设0,0,xxaxexfx要使xf在0x处连续，则a()A．2B．1C．0D．-121．设0,0,3sin1xaxxxxf，若xf在,上是连续函数，则a()A．0B．1C．31D．322．点1x是函数1,31,11,13xxxxxxf的()A．连续点B．第一类非可去间断点9C．可去间断点D．第二类间断点23．方程014xx至少有一根的区间是()A．21,0B．1,21C．3,2D．2,124．下列各式中的极限存在的是()A．xxsinlimB．xxe10limC．1352lim22xxxxD．121lim0xx25．xxxsinlim0()A．1B．0C．-1D．不存在26．22221limnnnnn。27．若31122xxxxf，则xf。28．函数1ln2xy的单调下降区间为。29．已知2235lim22nbnnan，则a，b。30．212limexxaxx，则a。31．函数xexf1的不连续点是，是第类不连续点。32．函数xxf1sin的不连续点是，是第不连续点。33．当0x时，~113x。34．已知xxxf11，为使xf在0x连续，则应补充定义0f。35．若函数1xf与函数xxxg的图形完全相同，则x的取值范围是。36．设3xxxf，若0xf，则x；若0xf，则10x；若0xf；则x。