Z变换的基本性质

X第1页第二节Z变换的性质线性性质移序性质序列乘K性质（序列线性加权）Z域尺度变换性质（序列指数加权）初值定理终值定理时域卷积定理z域卷积定理（自学）反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.X第2页一．线性a,b为任意常数。)()()()()()()()(2121222111zbXzaXkbxkaxZRzzXkxZRzzXkxZxx则若ROC：一般情况下，取二者的重叠部分),max(21xxRRz即(叠加性和齐次性）注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.X第3页例1解：00ee21cosh0kωkωkω)(e21)(e21)(cosh000kZkZkkωZkωkω所以00e21e21ωωzzzz1cosh2cosh(020ωzzωzz变换。的求zkk)(cosh0azzkaZk)(已知并且00e,emax:ROCkωkωz同理（自学）X第4页同理1ch2sh)()sinh(0200ωzzωzkkω00e,emax:ROCωωzX第5页)()(kakxkaz1)1()(1kaakakykkaz)()(kykx例2零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。azzzX)(azazY)(1)()(zYzX注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。1)1()(kδkakakk））－））－kkakakakykkk(((()(X第6页二．移序(移位)性质1.双边z变换2.单边z变换(1)左移位性质(2)右移位性质X第7页原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。zzXkxzkx)()(:变换的双边若序列1．双边z变换的移序性质O4O4O4112112112)(kx)2(kx)2(kxkkkzzXzmkxm)()(X第8页2．单边z变换的移序性质的长度一样只是位置变化，与的长度有所增减。比kxmkxmkxkkxkmkxkmkx,,若x(k)为双边序列，其单边z变换为)()(kkxZO44411O11O11kkk)()(kkx)()2(kkx)()2(kkxX第9页(1)左移位性质zzXkkx)()()(若zzkxzXzkmkxmkkm10)()()()(则为正整数其中m0)(1zxzzXkkx10)(222zxxzzXzkkxmzmk)()()(zXzmkmkxmX第10页)(2kkx)()()(zXzmkmkxm求解思路）kmkx()()1()1()2()0()2()2()1()2()2()2()2()2(kxkxkkxkkxkkxkkx1022zxxzzXz)(2kkx)1()1()()2()2()2()1()2()()2()2()2(kxkxkkxkkxkkxkkx＋＋1212xzxzXz同理：mzmk)(无论左移序右移序特性需牢记：)]1()()2()[2(kkkkx)]1()2()2()[2(kkkkx)(()(zXkkx）设：X第11页证明左移位性质根据单边z变换的定义，可得10mnnmznxzXz0kkzmkxkmkxZ0kmkmzmkxzmkn令mnnmznxz100mnnnnmznxznxzX第12页(2)右移位性质zzkxzXzkmkxmkkm1)()()()(则为正整数其中m1)(11xzXzkkx21)(212xxzzXzkkxzzXkkx)()()(若，则时，注意：对于因果序列00kxk)(zXzmkxm)()()(zXzmkmkxm说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程.mzmkX第13页1m)()(zXkx因为210210)()(zxzxxzkxzXkk＝所以：zXzxzxzxzxxxzxzxzxxzkxkxkk13211-321013210[z(-1))2(101)1()1(X第14页证明右移位性质根据单边z变换的定义，可得0kkzmkxkmkxZ1mnnmznxzXz10mnnnnmznxznxz0kmkmzmkxzmkn令mnnmznxzX第15页例题变换存在吗？的双边变换单边分别求已知变换的单边求zazkakaaazazzkazkkkfkkkkk.3)1(),(,)(.2)1()1()(.11116,4,21,5,3,10)()1(2)(.4kkkfkkfzk变换求以下信号单边)()1(1)(.59kfzzzF求已知变换的单边双边思考：求６zkk)1()2(.X第16页三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak）为非零常数则若aazaazXkxazzXkxk)()()(同理azazXkxaka)(zXkxk)(1azXazkxzkxakxaZkkkkkk00)()()(证明：说明:在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换.X第17页例题0)]()2[(2)(.3)(2sin)21()(.2)()5.0()(.1mmkkkmkkfkkkfkkfz变换求以下信号单边X第18页四．时域卷积定理)()()(*)()()()()(2211zHzXkhkxzzHkhzzXkx则已知),max((21RRz收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分注意：如果在相乘过程中有零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。在时域中的卷积在z域中z变换的乘积X第19页利用卷积定理得出常见序列的z变换)()1.(1kk)()1(.2kkak)1(.3kk1)1()()(2zzzkkazazzkakakk2)()()(1)1()1(221zzzzzz)1(kk)(.4kk1)1(2zzz)1()11(kkX第20页例题变换的求zkkkkk)]4()([)]3()()[1(.1变换法求卷积和）（用求如果同学练习：Zkfkfkkkfkkfkk)()()1()21()()21()()()(.221121变换的和求zkfnkkfkiinn10201)1()()]()2[()(.3变换的和求zkfnkkfkiinn10201)1()()]()2[()(.3变换的同学练习：求zkii131)2(X第21页五．乘k定理（z域微分定理）zzzXzkkxzzXkxd)(d)()()(则若)(dd)(zXzzkxkmm推广)(ddddddddddzXzzzzzzzzzzm表示共求导m次说明:在时域乘k(线性加权),相当于在z域中对z变换求导再乘-z.X第22页例题)()()()()(.2)(2)1()()3)1()1()()2)1()1()1()()1.103221zYziifkyzFzkfkkkkfkkkfkkkfzkik变换的单边求序列变换为的单边已知序列变换求以下序列的X第23页六.除k+m定理(z域积分定理)0,)(mkx(k))()(1mkmzdXzzzXkxzmm且为整数则若zdXz)(kx(k)0m例题变换的求序列zkk)(1akX第24页七.时域反转11)()()()(1zzXkxzzXkx则若说明:信号在时域反转在z域坐标变换为z-1其收敛域为倒置(因果变为反因果)例题)1()2)1(1)z)()(:kakaazazzkakxkkk变换求以下信号的已知aazzXakxk)()(域尺度变换注意：X第25页八.时域求和性质zzXzzixkfzzXkxki)1,max()(1)()()()(则若)(1)()()()(:zXzzkkxixkfki用卷积和定理可得说明10)()()2)1()()1(:kiikiiiakfkfz质）用求和性质或卷积和性变换求以下信号的例题X第26页九．初值定理()()()(0)(0)lim()zxkxkkXzxxXz若为因果序列，，且存在则0)1()1(kkxx因为)0()()]1()1()[1()()1(xzXzkkkxkkx且)0()(lim)1(xzXzxz所以推理x(1)＝？x(2)＝？理解:1)不需进行反变换,直接由X(z)求x(0),x(1)…x(∞).2)将X(z)在z→∞时的动态特性与x(k)的初值联系起来12)1()0()(lim)2(zxxzXzxz0)2()2(kkxx12)1()0()()]1()2()2()[2()()2(zxxzXzkkkkxkkxX第27页说明:1.由无穷远处的X(z)可递推出x(k)任意时刻值,无需反变换.2.因果序列初值x(0)若存在X(∞)值存在X(z)有理多项式分母阶数n≥分子阶数m初值x(0)存在的条件:n≥m(含n=m真分式)如果:n＜m,X(z)是假分式（双边信号）)2()1()()(211221kakazXzazazX真分式)()0(1zXLimxz初值定理是针对因果序列按z变换的真分式部分确定初值(含n=m))()0(zXLimxz真分式)()0(ssFLimfs真X第28页十．终值定理1()()()()()lim(1)()zxkxkkXzxxzXz若为因果序列，，且存在则说明:终值x(∞)存在X(z)的收敛域至少在包含单位园的园外(因果序列)是收敛的在1)()1(zzXzX(z)的全部极点在单位园内,如在单位圆上有极点,也只能是一阶极点且位于z=1(z=-1不允许)终值定理存在的条件终值定理是针对因果序列且z变换极点满足上述要求0()()sfLimsFs注意：拉氏变换的终值定理要求极点全在左半平面或原点处仅有一阶极点X第29页2zz2z2)1(zz1z1zz1z)(2kk)(1kk)(1kk)(5.0kk5.0zz5.0zkxk终值zXROC不存在不存在有，1有，0例题)()1(lim)(1zX