新东方龚紫云：2018年考研数学一线性代数真题解析(新东方版)

12018年考研数学一线性代数真题解析第一题1.真题展示：（2018数一5）下列矩阵中，与矩阵110011001轾犏犏犏犏臌相似的为_______（A）111011001轾-犏犏犏犏臌（B）101011001轾-犏犏犏犏臌（C）111010001轾-犏犏犏犏臌（D）101010001轾-犏犏犏犏臌2.真题解答：设110011001A轾犏犏=犏犏臌，111011001B轾-犏犏=犏犏臌，则1222101111011011001001rrcrAB-+轾轾--犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌得110110010010001001BA轾轾-犏犏犏犏=犏犏犏犏臌臌即1BPAP-=答案：A3.考点分析：该题考察的知识点是相似矩阵的定义，初等矩阵的性质。（1）相似矩阵的判断主要有以下两种方法：方法一：根据相似的定义。若矩阵,AB满足1BPAP-=，则,AB相似。方法二：利用相似的传递性。若矩阵,AB特征值相同并且都能对角化，则,AB相似。（即AL且BL，则AB）（2）初等矩阵的性质：A作行（列）变换得到B，等价于A左（右）乘初等矩阵得到B。4.考试点评：相似矩阵的判断是常考题型，历年真题主要考察的是方法二，也是大部分考生比较熟悉的方法。而18年这道题方法二不适用，很多同学想不到用方法一来做这道题。该题考察了线性代数的基本知识，但题目新颖、灵活，对于只会按“套路”解题的同学来讲，会显得束手无策。中等偏难。2第二题1.真题展示：（2018数一6）设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，()XY表示分块矩阵，则（A）()()rAABrA=（B）()()rABArA=（C）()max{(),()}rABrArB=（D）()()TTrABrAB=2.真题解答：设CAB=，则AXC=有解（XB=就是它的一个解），则根据矩阵方程解的个数与秩的关系可知，()()rArAC=即()()rArAAB=答案：A3.考点分析：该题考察矩阵秩的性质，转化为矩阵方程解的个数与秩的关系来分析最为恰当。4.考试点评：线性方程组解的个数与秩的关系是线性代数基本知识，但该题考察方式也是很灵活，需要对问题做转化思考。中等难度。第三题1.真题展示：（2018数一13）二阶矩阵A有两个不同特征值，12,aa是A的线性无关的特征向量，21212()()Aaaaa+=+，则||A=2.真题解答：设A的特征值为12,ll，则2A的特征值为2212,ll，2A的特征向量与A相同。根据特征值与特征向量的定义可知，222221212112212()AAAaaaalalaaa+=+=+=+，得221122(1)(1)0lala-+-=由于12,aa线性无关，所以21221010llì-=ïíï-=î得121,1ll=-=则12||1All==-33.考点分析：该题考察内容比较多，包括以下知识点：（1）特征值的性质；（2）特征值、特征向量的定义；（3）向量组线性无关的定义。4.考试点评：该题是一个综合性问题，对以上知识点做了很好的融合。中等难度。第四题1.真题展示：（2018数一20）设实二次型2221231232313(,,)()()()fxxxxxxxxxax=-+++++，其中a是参数（I）求123(,,)0fxxx=的解（II）求123(,,)fxxx的规范形2.真题解答：（I）12312323130(,,)000xxxfxxxxxxaxì-+=ïï=?=íï+=ïî系数矩阵11110201101110002Aaa轾轾-犏犏犏犏=?犏犏犏犏-臌臌当2a¹时，()3rA=，方程组有唯一解：123000xxx轾轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌臌当2a=时，()2rA=，方程组有无穷解：12300,0xxkkRx轾轾犏犏犏犏=?犏犏犏犏臌臌（2）当2a¹时，1123223313yxxxyxxyxaxì=-+ïï=+íï=+ïî这是可逆的线性变换，直接得到规范形：222123fyyy=++当2a=时，二次型矩阵2221231232313(,,)()()(2)fxxxxxxxxxx=-+++++222123121322626xxxxxxx=++-+4二次型矩阵213120306B轾-犏犏=-犏犏臌，得特征值为：1230,57,57lll==+=-特征值为三个正数，所以规范形为：2212fyy=+3.考点分析：该题考察知识点：（1）求解线性方程组；（2）二次型的规范形。规范形是一种特殊的标准形，求二次型的标准形、规范形可利用配方法或者求特征值得到。4.考试点评：该题第一问比较新颖，套了二次型的“外套”，实际上考的是求解线性方程组。第二问是常规问题，求特征值时计算有一定难度。中等偏难。第五题1.真题展示：（2018数一21）已知a是常数，且矩阵1213027aAa轾犏犏=犏犏-臌可经过初等列变换化为矩阵12011111aB轾犏犏=犏犏-臌（I）求a（II）求满足APB=的可逆矩阵P2.真题解答：（I）可知矩阵A与矩阵B等价，所以()()rArB=121301300127000aAaa轾轾犏犏犏犏=?犏犏犏犏-臌臌1212011011111002aaBa轾轾犏犏犏犏=?犏犏犏犏--臌臌所以2a=5（II）106344(,)012111000000AB轾犏犏?---犏犏臌设111222333xzyPxyzxyz轾犏犏=犏犏臌，则13236321xxxxì+=ïí-=-ïî，13236421yyyyì+=ïí-=-ïî，13236421zzzzì+=ïí-=-ïî解得：1213361201xxkx轾轾轾-犏犏犏犏犏犏=-+犏犏犏犏犏犏臌臌臌，1223461201yyky轾轾轾-犏犏犏犏犏犏=-+犏犏犏犏犏犏臌臌臌，1233461201zzkz轾轾轾-犏犏犏犏犏犏=-+犏犏犏犏犏犏臌臌臌所以123123123364646121212kkkPkkkkkk轾---犏犏=-+-+-+犏犏臌，其中1k，2k，3k为任意常数，且23kk¹3.考点分析：该题考察知识点：（1）等价的概念及性质；（2）求解矩阵方程。4.考试点评：该题比较常规，先根据等价求参数，再求解矩阵方程，计算量比较大。中等难度。总结与建议1.注重基础，提高知识应用能力从考生作答情况看，2018年线代试题难度偏大。主要原因是考生知识掌握不够全面，而且只会按套路解题，不能灵活处理问题。2.加强计算能力训练计算能力是线代考试重点考察的一项，2018年线代两道大题计算量比较大，很多考生会在计算上失分严重。因此，考生在复习过程中要克服仅满足于知晓运算过程、眼高手低的毛病，要真正动手计算，在实践中提高运算能力，最终才能保证运算结果的准确无误。