第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】知识导航被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2，=（大+小）×个数÷2，但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式：最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1）个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1精典例题例1：下面算式求和，你有妙招吗？1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20思路点拨：方法一：凑整法。从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20，每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。方法一：凑整法。1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20=20+20+20+……+20+10=20×10+10=210方法二：配对求和。1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11）=21+21+21+……+21+11=21×10=210模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19=（1+19）×10÷2=20×5=100例2：你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路点拨如果我们还是按照配对求和的方法，1+9，2+8，3+7，4+6，那么还剩下5就不能配对了，为了解决这样的问题，高斯又发现了有新的绝招：现在你该知道怎么写算式了吧！快快行动吧！方法一：等差数列求和法。和=（大+小）×个数÷2=（1+9）×9÷2=45方法二：等差数列个数是奇数个时，中间数就是它们的平均数，所以和=中间数×个数=5×9=45模仿练习（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1可以配对思考，两个数组成一对，和为6.共6个6，所以爬山数列的和=山顶数×山顶数=6×6=36（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1同理配对思考，两个数组成一对，和为10.共10个10，所以爬山数列的和=山顶数×山顶数=10×10=100例3：光头强伐木场将粗细均匀的圆木堆放一起，最上面一层堆4根，下面每层都比上面每层多1根，最下面一层堆了23根圆木，你知道这堆圆木共有多少根吗？思路点拨：本题是用配对求和的方法解决生活中的实际问题。在解决这类题时，要能够根据题意，把对应的算式写出来。小朋友，边读边试试吧！圆木总根数：4+5+6+7+8+……+22+23，即等差数列求和。知道了大数和小数，先求个数。即层数：（23-4）÷1+1=20层，即20个数。所以共有：（4+23）×20÷2=27×10=270（根）答：共有270根。模仿练习熊熊电影院有8排座位，第一排有10个座位，以后每排总比前排多2个座位，最后一排有24个座位，熊熊电影院一共有多少个座位？电影院座位总数：10+12+14+16+……+24有8排座位，所以有8个数相加。总座位数：（10+24）×8÷2=34×4=136（个）答；电影院一共有136个座位。学以致用A级1.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋102.2＋4＋6＋8＋……＋16＋18＋20这列数有10个个数：（20-2）÷2+1=10个=(1+10)×10÷2=(2+20)×10÷2=11×5=22×5=55=1103.61＋63＋65＋……＋79＋814.203＋207＋211＋215＋219这列数有（81-61）÷2+1=11个共有5个数，奇数个，中间数就是平均数。=（61+81）×11÷2=211×5=142×11÷2=1055=71×11=781B级5.21＋22＋23＋24＋……＋506.（995＋993＋991＋989）－（994＋992＋990＋988）个数：（50-21）÷1+1=30个分组配对思想。=（21+50）=（995-994）+（993-992）+……+（989-988）=71×30÷2=1+1+1+1=2130÷2=4=10657.1500―71―29―72―28―73―27―74―26―75―25―76―24―77―23―78―22―79―21运用连减，减去和的性质进行计算=1500―（71+29+72+28+73+27+74+26+75+25+76+24+77+23+78+22+79+21）=1500-100×9=1500-900=6008.8000―100－99－98－97－96－95－……－3－2－1=8000-（100+99+98+97+……+3+2+1）=8000-（100+1）×100÷2=8000-5050=2950C级9.1＋2＋3＋……＋98＋99＋100＋99＋98＋……＋3＋2＋1=100×100=1000010.所有的两位数中，十位数字大于个位数字的数共有多少个？所有的两位数，最小的是10，最大的是99，在这些两位数中，十位数字大于个位数字的数，可以分类计数：十位上是1：10有1个十位上是2：2120有2个十位上是3：30，31，32有3个……十位上是9：90，91，92，93，94，95，96，97，98。有9个所以符合条件的两位数共：1+2+3+4+……+9=45个。答：共有45个。