坐标系与参数方程高考冲刺(文理科专用)

1坐标系与参数方程要点一：向量的有关概念1．极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线Ox，O为极点，Ox为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2．极坐标系内一点P的极坐标平面上一点P到极点O的距离||OP称为极径，OP与Ox轴的夹角称为极角，有序实数对(,)P就叫做点P的极坐标。3.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点P的极坐标(,)和直角坐标(,)xy有如下关系：直角坐标化极坐标：cos,sinxy；极坐标化直角坐标：222,tan(0)yxyxx.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4.直线的极坐标方程：过极点倾斜角为的直线：()R或写成及.5.圆的极坐标方程：（1）以极点O为圆心，a(0)a为半径的圆：a.2（2）若(0,0)O，(2,0)Aa(0)a，以OA为直径的圆：2cosa要点二：参数方程1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数：()()xftygt，并且对于t的每一个允许值，方程所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0Fxy，叫做曲线的普通方程。要点三：常见曲线的参数方程1．直线的参数方程（1）经过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为：00cossinxxtyyt（t为参数）；其中参数t的几何意义：0MMte，有0||||MMt，即||t表示直线上任一点M到定点0M的距离。（当M在0M上方时，0t，M在0M下方时，0t)。（2）过定点000(,)Mxy，且其斜率为ba的直线l的参数方程为：00xxatyybt（t为参数，,ab为为常数，0a）；其中t的几何意义为：若M是直线上一点，则220||||MMabt。2．圆的参数方程（1）已知圆心为00(,)xy，半径为r的圆22200()()xxyyr的参数方程为：300cossinxxryyr（是参数，R）；特别地当圆心在原点时，其参数方程为cossinxryr（是参数）。（2）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程（1）椭圆22221xyab（0ab）的参数方程cossinxayb（为参数）。（2）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆12222byax上任意一点可设成(cos,sin)ab，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程双曲线22221xyab（0a,0b）的参数方程为sectanxayb（为参数）。5.抛物线的参数方程抛物线22ypx(0p)的参数方程为222xptypt（t是参数）。参数t的几何意义为：抛物线上一点与其顶点O连线的斜率的倒数，即1OPtk。典例解析类型一、极坐标方程的综合应用例1（2016兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程.4（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解析】（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．举一反三：【变式1】在极坐标系中，，，则△AOB的面积是________。【答案】，∴。【变式2】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（）A．2B．C．1D．【答案】D法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为与,由此求得圆心距为.法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x2+y2=x和x2+y2=y，它们的圆心分别是，，(4,)9A5(1,)18B51896AOB11||||sin41sin1226AOBSAOBOAOBcossin2221(,0)21(,)22221(,0)21(0,)25由此求得圆心距为.类型二参数方程的应用例2.已知实数x,y满足,求:（1）x2+y2的最大值；（2）x+y的最小值.【思路点拨】充分利用圆的参数方程【解析】原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.用参数方程表示为:（为参数，0≤＜2）.（1）∴当，即时，(x2+y2)max=16.（2）∴当，即时，.【总结升华】利用圆的参数方程求最值，一般来说都是先把所求的量表示成关于参数的函数，然后利用三角函数的有界性或者函数的性质求最值。举一反三：【变式1】已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）设圆的参数方程为，22032222yxyx4)3()1(22yx)3,1(sin23cos21yx)cossin3(48)sin23()cos21(2222yx)6sin(882632)4sin(2213)cos(sin213yx23445min()3122xy(,)Pxy222xyy2xy0xyaacos1sinxy22cossin15sin()1xy6（2）【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.【答案】已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即，∴或又，∴，从而满足要求的点一共有三个.例3（2016湖南二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【解析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．51251xycossin10xyaa(cossin)12sin()14a21a222430xyxy10xy222(1)(2)8xy122cos222sinxy[0,2)(122cos,222sin)P10xy22|122cos222sin1|211d|22(sincos)2|2|2sin()1|14sin()04sin()14[0,2)371,,4447C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．举一反三：【变式1】（2016衡水校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．【解析】（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．【变式2】在椭圆2212516xy中作内接矩形，求内接矩形的最大面积.8【答案】如图，设椭圆2212516xy的内接矩形在第一象限的顶点是A（5cos,4sin）（02），矩形的面积是S。45cos4sin40sin240，当且仅当4时，max40S。所以内接矩形的最大面积为40.例4.经过点，倾斜角为的直线与圆x2+y2=25相交于B、C两点．（1）求弦BC的长；（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；（4）当变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．【思路点拨】本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦．如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算．【解析】取AP=t为参数（P为上的动点），则的参数方程为，代入x2+y2=25，整理得．∵Δ=9(2cos+sin)2+55＞0恒成立．∴方程必有相异两实根t1、t2，且t1+t2=3(2cos+sin），．（1）．（2）∵A为BC中点，∴t1+t2=0，即2cos+sin=0，∴tan=－2．．故直线BC的方程为，33,2Alll3cos3sin2xtyt2553(2cossin)04tt12554tt22121212||||()49(2cossin)55BCtttttt32(3)2yx9即4x+2y+15=0．（3）∵，∴(2cos+sin)2=1，∴cos=0或．∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0．举一反三：【变式1】直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．【答案】D，得，中点为【变式2】求直线（为参数）被双曲线截得的弦长。【答案】把直线参数方程化为标准参数方程2||9(2cossin)558BC3tan4112()3332xttyt为参数2216xy,ABAB(3,3)(3,3)(3,3)(3,3)2213(1)(33)1622tt2880tt12128,42tttt11432333342xxyy23xtytt221xy为参数）（23212ttytx12321212222ttyx，得：代入0642tt