高等数学28-52.5-8.5-平面及其方程

第六节平面及其方程一、点法式方程（重点，最基本的）三、平面的一般方程（重点）四、截距式方程五、两个平面的夹角七、小结二、平面的三点式方程六、点到平面的距离平面及其方程平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。xyzo0MM如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知},,,{CBAn),,,(0000zyxM设平面上的任一点为),,(zyxMnMM0必有00nMM一、平面的点法式方程（重点）n},,,{CBAn},,{0000zzyyxxMM0)()()(000zzCyyBxxA－－平面的点法式方程其中法向量},,,{CBAn已知点).,,(000zyx若取平面的另一法向量m此时由于nm//CBAnm,,平面方程为0)()()(000zzCyyBxxA0)()()(000zzCyyBxxA平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．},,,{CBAn例1。求该平面的点法式方程垂直，且与已知一平面过}3,2,1{)0,3,2(aM解：}3,2,1{an设)0,3,2(M由点法式方程：0)0(3)3(2)2(1zyx03)3(2)2(zyx平面的点法式方程：例2求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解}6,4,3{AB}1,3,2{AC取ACABn},1,9,14{所求平面的点法式方程为,0)4()1(9)2(14zyxACBn一般地过不共线的三点),,(1111zyxM),,(2222zyxM),,(3333zyxM的平面的法向量（重点）3121MMMMn131313121212zzyyxxzzyyxxkji平面方程为0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx——三点式方程二、平面的三点式方程由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD0DCzByAx——平面的一般方程法向量}.,,{CBAn三、平面的一般方程（重点）例3求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.},1,1,1{1n}12,2,3{2n取法向量21nn},5,15,10{,0)1(1)1(3)1(2zyx化简得.0632zyx则所求平面方程为：解},1,3,2{n平面一般方程的几种特殊情况（重点）：,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于坐标面；xoy类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形.0DCzByAx例4设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.设平面为,0DCzByAx由平面过原点知,0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA},2,1,4{n024CBA,32CBA.0322zyx所求平面方程为解3C令例5设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC解xyzo,aDA,bDB,cDC将代入方程1czbyax平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距四、截距式1czbyax,0DCzByAx得0DcDzbDyaDx例6求过点)3,0,1(),2,1,1(21MM且平行于z轴的平面方程解一用点法式设所求平面的法向量为n则knMMn,21kjiMM221100112kjinji2由点法式得，所求平面的方程为0)1(2)1(yx012yx即解二用一般式因平面平行于z轴，故可设平面方程为0DByAx)3,0,1(,)2,1,1(21MM在平面上0DBA0DA解得DBDA2,所求平面方程为02DDyDx即012yx0DCzByAx求平面方程的基本思路和基本步骤：两定——1.定点，2.定方向定义（通常取锐角）11n22n两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA},,,{1111CBAn},,,{2222CBAn五、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121||cosCBACBACCBBAA两平面夹角余弦公式两平面位置特征：21)1(;0212121CCBBAA21)2(//.212121CCBBAA例7研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交，夹角.601arccos},1,1,2{1n}2,2,4{2n,212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合．,21214221)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面重合.01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx例8设),,(0000zyxP是平面ByAx0DCz外一点，求0P到平面的距离.),,(1111zyxP|Pr|01PPjdn1PNn0P},,{10101001zzyyxxPP解六、点到平面的距离||Pr0101nnPPPPjn}.,,{CBAn222101010)()()(CBAzzCyyBxxA,)(222111000CBACzByAxCzByAx||Pr0101nnPPPPjn,222000CBADCzByAx)(1P.||222000CBADCzByAxd——点到平面距离公式例9的距离。到平面求点0123)5,2,1(yyxM解：1442)1(3|15221)1(3|222.||222000CBADCzByAxd平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）七、小结作业•第329页•1,3,8（1,3），9思考题若平面02zkyx与平面032zyx的夹角为4，求?k思考题解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222kk,1453212kk.270k一、填空题：1、平面0CzByAx必通过_______，（其中CBA,,不全为零）；2、平面0DCzBy__________x轴；3、平面0CzBy_______x轴；4、通过点)1,0,3(且与平面012573zyx平行的平面方程为_________；5、通过),0,0()0,,0()0,0,(cba、、三点的平面方_______________；6、平面0522zyx与xoy面的夹角余弦为___________，与yoz面的夹角余弦为____________，与zox面的夹角的余弦为_________；练习题二、指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：1、0632yx；2、1zy；3、056zyx.三、求过点)2,2,2(,)1,1,1(和)2,1,1(三点的平面方程.四、点)1,0,1(且平行于向量1,1,2a和0,1,1b的平面方程.五、求通过Z轴和点)2,1,3(的平面方程.六、求与已知平面0522zyx平行且与三坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程.一、1、(0,0,0)；2、平行于；3、通过；4、04573zyx；5、1czbyax；6、32,32,31.二、1、平行于轴z的平面；2、平行于轴x的平面；3、通过原点的平面.三、023zyx.四、43zyx.五、03yx.六、33222zyx.练习题答案