6.构图解题

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！高考数学母题[母题]Ⅰ(12-06):构图解题(266)679构图解题[母题]Ⅰ(12-06):(2006年浙江高考试题)设向量a、b、c满足:a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.[解析]:由a+b+c=0,且a⊥b知a、b、c构成直角三角形ABC,如图:延长AC到点D,使CD=AC,A则DB=a-b,由(a-b)⊥c知AB⊥BD△ABD是等腰直角三角形△ABC是等腰直角三角形CBAC=BC=1AB=2|a|2+|b|2+|c|2=4.D[点评]:利用向量的几何形式不仅可求向量的模,而且还可巧求向量的夹角,利用向量的几何形式解决问题,充分体现了向量所具有“形”的特性.[子题](1):(2001年上海春招试题)若非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a与b所成角的大小为.[解析]:因|a+b|与|a-b|分别表示以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度;由|a+b|=|a-b|此平行四边形的对角线相等此平行四边形为矩形a⊥ba与b所成角的大小为900.注:构图解决向量的夹角问题的关键在于如何“构图”,一般地,把两个向量平移到具有相同始点,然后以这两个向量为邻边,构造三角形或平行四边形.[子题](2):(2009年全国Ⅰ高考试题)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b=()(A)1500(B)1200(C)600(D)300BC[解析]:令OA=a,OB=b,OC=c,由a+b=cOA+OB=OC四边形OACB是平行四边形;又由|a|=|b|=|c||OA|=|OB|=|OC||OA|=|AC|=|OC|OAΔOAC与ΔCBC均是正三角形∠AOB=1200a,b=1200.故选(B).注:求两个向量的夹角,以这两个向量为邻边构造平行四边形后,要把题目条件移植到平行四边形中,由此研究该平行四边形,进而得解.[子题](3):(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)向量a、b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为()(A)6(B)3(C)32(D)65D[解析]:作OA=AB=a,OC=CD=b,由(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥bAD⊥OA,BC⊥OC(由垂直平分C线性质)OD=BD,OA=BDΔOBD是正三角形∠AOC=a,b的夹角为3.故选(B).OAB注:对与向量的倍数有关的问题,要利用数与向量积的几何意义,进行构图;充分利用平面几何的相关结论是构图解决向量的夹角问题的精髓.[子题系列]:1.(2004年全国Ⅱ高考试题)己知向量a、b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=()(A)1(B)2(C)5(D)62.(2006年福建高考试题)己知向量a与b的夹角为1200,且|a|=3,|a+b|=13,则|b|等于()(A)5(B)4(C)3(D)13.(2004年全国Ⅰ高考试题)己知a、b均为单位向量,它们的夹角为600,那么|a+3b|=()(A)7(B)10(C)13(D)44.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知向量a、b、c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是.680[母题]Ⅰ(12-06):构图解题(266)5.(2004年福建高考试题)己知a、b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是()(A)6(B)3(C)32(D)656.(2005年北京高考试题)|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为()(A)300(B)600(C)1200(D)15007.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是.8.(2006年北京高考试题)己知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a≠b,则a+b与a-b的夹角的大小是.9.(2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)两个非零向量a和b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量a和b的夹角等于()(A)600(B)900(C)1200(D)150010.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)设平面上的向量a,b,x,y满足关系a=x-y,b=2x+y,又设a与b的模为1,且互相垂直,则x与y夹角的余弦值=.11.(2011年课标高考试题)已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p1:|a+b|1θ∈[0,32);p2:|a+b|1θ∈(32,π];p3:|a-b|1θ∈[0,3);p2:|a-b|1θ∈(3,π].其中的真命题是()(A)p1,p4(B)p1,p3(C)p2,p3(D)p2,p412.(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是.[子题详解]:1.解:令OA=a,OB=b,在平行四边形OACB中,作BH⊥OA于H,则OH=21,BH=215|a+b|=OC=6.故选(D).2.解:令OA=a,OB=b,在平行四边形OACB中,OA=3,OC=13,∠OAC=600|b|=AC=4.故选(B).3.解:令OA=a,OB=3b,在平行四边形OACB中|a+3b|=13.故选(C).4.解:由a+b+c=0,且a⊥b知a、b、c构成直角三角形ABC,延长AC到点D,使CD=AC|a|2+|b|2+|c|2=4.5.解:作OA=AB=a,OC=CD=b,由(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b∠AOC=a,b的夹角为3.故选(B).6.解:令OA=a,OB=b,在平行四边形OACB中,由c⊥aOC⊥OA;由|a|=1,|b|=2∠BOC=300∠AOB=1200.故选(C).7.解:令OA=a,OB=b向量a与b的夹角1200.8.解:令OA=a,OB=b,在平行四边形OACB中,由|a|=|b|=1平行四边形OACB是菱形OC⊥AB夹角=900.9.解:令OA=a,OB=b,OC=c,由a+b=cOA+OB=OC四边形OACB是平行四边形;又由|a|=|b|=|c||OA|=|OB|=|OC||OA|=|AC|=|OC|ΔOAC与ΔCBC均是正三角形∠AOB=1200a,b=1200.故选(C).10.解:由a=x-y,b=2x+yx=31(a+b),y=31(b-2a),则x,y=31(a+b),31(b-2a)=(a+b),(b-2a);令OA=a,OB=2a,ODb,OC=a+b,OC与BD交于P,则sin∠ABD=55,cos∠ABD=552cosx,y=cos∠OPB=-cos(450+∠ABD)=-1010.11.解:令OA=a,OB=b,OC=a+b,在平行四边形OACB中,|a+b|1|OC|1∠OBC∈(3,π]θ=∠AOB∈[0,32);|a-b|1|AB|1θ=∠AOB∈(3,π].故选(A).12.解:令OA=a,OB=b,OC=c,则|a-b|=|AB|∈[7-1,7+1].