几类数列裂项求和

1几类数列裂项求和传统的裂项求和如11niiicaa其中na是等差数列已被大家熟悉，从近年的高考题和模拟题来看，在裂项上力求有一定的创新，本文从安徽省近年的高考模拟题和高考题出发来介绍几类裂项求和问题。1.形如11()nknknkn型例：（合肥二模文科数学）如图所示,设曲线1yx上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形11122,,,OBAABA直角顶点在曲线1yx上,设nA的坐标为,0na,0A为坐标原点.(1)求1a,并求出na和1()nanN之间的关系式;(2)求数列na的通项公式；(3)设12(),nnnbnNaa，求数列nb的前n项和nS.2.形如1111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn型例（安徽名校联考六）已知数列na，其前n项和为nS满足121nnSS（为大于0的常数），且11a，34a.(1)求的值;(2)求数列na的通项na;(3)若1212lognnba,1n,设nT为数列21(1)nnb的前n项和,求证:54nT.23.含指数型裂项例（安徽名校联考）已知数列na的前n项和为nS，若2,nnSan且11.nnnnabaa（1）求证：数列1na为等比数列；（2）求数列nb的前n项和nT.例(安徽省“江南十校”联考)数列na满足12a，1121()22nnnnnaana（nN）.（1）设2nnnba，求数列nb的通项公式nb；（2）设11(1)nncnna，数列nc的前n项和为nS，求出nS并由此证明：516nS＜12.解析:对(2)解答如下:由（1）知12221nnnnabn，∴2122(1)1nnan，2221(1)1122(1)22(1)2nnnnnncnnnn211122(1)2(1)2nnnnnnnnn111111222(1)2nnnnn∴2122311111111111()()()()2222122222322(1)2nnnnSnn2111(1)1111221222(1)212nnn11121()221nnn易知111211()()(1)2121nnnnn递减∴0＜111121123()()212118nnn3∴151121()16221nnn＜12，即516nS＜12合肥三模中也将含指数型裂项作为文科数学的压轴题，考题如下：已知正项等差数列na中，其前n项和为nS，满足12nnnSaa.(1)求数列na的通项公式；(2)设12nnnaSb，12,nnTbbb求证:3.nT4.含三角型裂项例（安徽省高考题）在数1和100之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，再令,lgnnaT1n.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设1tantan,nnnbaa求数列{}nb的前n项和nS.解析:对(2)的解答过程如下:由题意和(1)的计算结果可知tan(2)tan(3),(1)nbnnn另一方面,利用tan(1)tantan1tan((1)),1tan(1)tankkkkkk得tan(1)tantan(1)tan1,tan1kkkk所以213tan(1)tannnniikSbkk23tan(1)tantan1tan(3)tan3tan1nkkknn例(安庆重点中学联考)已知数列na中,1211,,4aa且1(1)(2,3,4,)nnnnaanna(1)求23,aa的值;4(2)设111(),nnbnNa试用nb表示1nb并求nb的通项公式;(3)设1sin3()coscosnnncnNbb,求数列nc的前n项和nS.解析:对问题（3）的解答如下:∵1sin3coscosnnncbbsin(333)tan(33)tan3cos(33)cos3nnnnnn，∴12nnScccL(tan6tan3)(tan9tan6)(tan(33)tan3)nnLtan(33)tan3n以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力.