半角旋转模型

.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），FEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3CDAOBxy图4FEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3FEDABCBEDAGFEDABCCFEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3CDAOBxy图4CDAOBxyCDAOBxy图4FEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3CDAOBxy图4FEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3FEDABCBEDAGFEDABCCFEDABCBEDAGFEDABCC图1图2图3CDAOBxy图4CDAOBxyCDAOBxy图4∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（3，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=．已知：正方形ABCD中，45MAN，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．24．如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；CDOAB图4xy（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．海淀25．如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2DE，1AB．将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．图1图2图3解答问题：（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AMDM的值为；②在平移过程中，AMDM的值为（用含k的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，0≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AMDM的值（用含k的代数式表示）．图1图2图3图4昌平22.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△APC，连接PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．PCBAABCPP'DPACBABCDPFE请你回答：图1中∠APB的度数等于.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=22，PB=1，PD=17，则∠APB的度数等于，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=13，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为．通州24.（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标．备用图备用图第24题图xyBOOByxyxEPDCBO(西城19)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为(,)xy．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；（2）画出点(,)Pxy运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．东城24.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．C1CBA1A图2A1C1ABC图1图3PP1EA1AC1CB朝阳24．在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分别为AB、AC上的点．（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CF∥EB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出EBDC的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，12EBDC，求k的值．西城24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．(1)如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，△PMN周长的最小值为_______；(2)如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积；(3)若PA=m，PB=n，PC=k，且cossinkmn，直接写出∠APB的度数．图2DECBA图1GFDECBA门头沟24．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，线段DM与AE之间的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段DM与AE之间的数量关系是；（3）①如图3，当ABC（090）时，线段DM与AE之间的数量关系是；②在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连结CP，若AB＝7，AE＝27，求sin∠ACP的值．顺义24．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点.G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa，BCb，求EFEG的值．ABCDEFMMFEDCBAABCDEFM图1图2图3朝阳22．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．丰台24．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；DEACBP图2DACB图3ACBP图12）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若14AOAC，求OEOF的值．朝阳期末25已知：在ABC中90ACB，ABCD于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，BEEF交AB于点F。如图甲，当BCAC时，且EACE时，则有EGEF；（1）如图乙①，当BCAC2时，且EACE时，则线段EF与EG的数量关系是：EF_____EG；（2）如图乙②，当BCAC2时，且EACE2时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当mBCAC时且nEACE时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）；西城期末24．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN，连结MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BMDN=；（用含a的代数式表示）（2）求MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．COBAOE图1FBAOCEFABCEF图2图3