函数的极大值与极小值

试卷第1页，总5页专项训练：导数的极大值与极小值一、单选题1．已知函数f(x)＝xlnx－aex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．B．(0，e)C．D．(－∞，e)2．函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－D．不存在3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A．B．－C．－ln2D．ln24．已知函数𝑓(𝑥)=1+𝑒𝑥𝑥，则（）A．𝑓(𝑥)有1个零点B．𝑓(𝑥)在(0,1)上为减函数C．𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于(1,0)点对称D．𝑓(𝑥)有2个极值点5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－136．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A．1ln2B．－1ln2C．－ln2D．ln27．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝08．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（）试卷第2页，总5页A．,−2B．,−2C．,−2D．,−54−ln29．若函数𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥在(𝑎,6−𝑎2)上有最小值，则实数的取值范围是（）A．(−√5,1)B．[−√5,1)C．[−2,1)D．(−2,1)10．已知在(−∞,1]上递减的函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑡𝑥+1，且对任意的𝑥1,𝑥2∈[0,𝑡+1]，总有|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤2，则实数𝑡的取值范围为（）A．[−√2,√2]B．[1,√2]C．[2,3]D．[1,2]11．若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−3𝑥+𝑎ln𝑥(𝑎0)，当𝑎=1时，函数𝑓(𝑥)的单调减区间和极小值分别为（）A．(0,12),−2B．(1,+∞),−2C．(12,1),−2D．(12,1),−54−ln212．若函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎1n𝑥+2𝑎𝑥−1在(0,+∞)上恰有两个极值点，则𝑎的取值范围为（）A．(−𝑒2,−𝑒)B．(−∞,−e2)C．(−∞,−12)D．(−∞,−e)13．已知𝑎是常数，函数𝑓(𝑥)=13𝑥3+12(1−𝑎)𝑥2−𝑎𝑥+2的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图像如图所示，则函数𝑔(𝑥)=|𝑎𝑥−2|的图像可能是（）A．B．C．D．14．已知𝑎≥0，函数𝑓(𝑥)=(𝑥2−2𝑎𝑥)𝑒𝑥，若𝑓(𝑥)在[−1,1]上是单调减函数，则𝑎的取值范围是()A．(0,34)B．(12,34)C．[34,+∞)D．(0,12)15．设𝑓(𝑥)=12𝑥2−𝑥+cos(1−𝑥)，则函数𝑓(𝑥)A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值16．若函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥+3)𝑒𝑥在(0,+∞)内有且仅有一个极值点，则实数𝑎的取值范围是（）试卷第3页，总5页A．(−∞,−2√2]B．(−∞,−2√2)C．(−∞,−3]D．(−∞,−3)17．如图，已知直线𝑦=𝑘𝑥+𝑚与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切于两点，则函数𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑘𝑥有()A．2个零点B．3个极值点C．2个极大值点D．3个极大值点18．设函数f(x)=x−e−x，直线y=mx+n是曲线y=f(x)的切线，则m+n的最小值是（）A．−1eB．1C．1−1eD．1+1e319．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−(𝑥+1)2(𝑒为自然对数的底)，则𝑓(𝑥)的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题20．已知a∈R，函数𝑓(𝑥)=|𝑥+4𝑥−𝑎|+𝑎在区间[1，4]上的最大值是5，则𝑎的取值范围是___________．21．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．22．若函数𝑓(𝑥)=2𝑥3−𝑎𝑥2+1(𝑎∈𝑅)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则𝑓(𝑥)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．试卷第4页，总5页23．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2－2x－4lnx；(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－3𝑎(a∈R且a≠0).24．已知三次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑的图象如图所示，则𝑓′(0)𝑓′(1)=__________．25．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________.26．己知函数𝑓(𝑥)=1e𝑥+𝑎ln𝑥(𝑎∈R)．若函数𝑓(𝑥)在定义域内不是单调函数，则实数𝑎的取值范围是__________．三、解答题27．已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥𝑥+ln𝑥−𝑥(𝑎∈𝑅，且𝑎为常数）(Ⅰ)若函数𝑓(𝑥)的极值点只有一个，求实数𝑎的取值范围；(Ⅱ)当𝑎=0时，若𝑓(𝑥)≤𝑘𝑥+𝑚（其中𝑚0）恒成立，求(𝑘+1)𝑚的最小值ℎ(𝑚)的最大值.28．已知函数f(x)＝ex－，a为实常数.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，且极值大于ln4＋2，求a的取值范围.29．已知函数f(x)＝(a0，r0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．30．设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．31．设函数f(x)=clnx+12x2+bx(b,c∈R,c≠0)，且x=1为f(x)的极值点.（1）若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间（用c表示）；试卷第5页，总5页（2）若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.32．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2𝑎−2ln𝑥(𝑎∈𝑅,𝑎≠0)．（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；（2）若函数𝑓(𝑥)有两个零点𝑥1，𝑥2(𝑥1𝑥2)，且𝑎=𝑒2，证明：𝑥1+𝑥22𝑒．答案第1页，总25页参考答案1．A【解析】【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数𝑦=𝑎,𝑔(𝑥)=ln𝑥+1𝑒𝑥有两个不同的交点，然后求𝑔(𝑥)=ln𝑥+1𝑒𝑥的导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定𝑔(𝑥)图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.【详解】f(x)＝xlnx－aex(x0)，∴f′(x)＝lnx＋1－aex(x0)，由已知函数f(x)有两个极值点可得y＝a和g(x)＝在(0，＋∞)上有两个交点，g′(x)＝(x0)，令h(x)＝－lnx－1，则h′(x)＝－－0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)≤g(1)＝，当x∈(1，＋∞)时，h(x)0，即g′(x)0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)max＝g(1)＝，而x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0；若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有两个交点，只需0a.【点睛】极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题.2．C【解析】【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x－1时，y′0，x－1时，y′0，所以x＝－1答案第2页，总25页时，ymin＝－.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用𝑓′(𝑥)=0得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.3．B【解析】【分析】先求导数，再求导函数零点，最后验证.【详解】y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.经检验，x＝－时函数取极小值，所以x＝－.选B.【点睛】已知函数求极值.求𝑓′(𝑥)→求方程𝑓′(𝑥)=0的根→列表检验𝑓′(𝑥)在𝑓′(𝑥)=0的根的附近两侧的符号→下结论.4．B【解析】【分析】因为1+𝑒𝑥1，故可判断𝑓(𝑥)=1+𝑒𝑥𝑥无零点，而𝑓′(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−1𝑥2，当𝑥∈(0,1)，可通过𝑓′(𝑥)的符号确定其单调性，通过考虑𝑦=𝑒𝑥与𝑦=1𝑥−1可得𝑓(𝑥)极值点的个数.最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于(1,0)对称.【详解】因此𝑒𝑥0，故1+𝑒𝑥1，所以1+𝑒𝑥𝑥≠0，故判断𝑓(𝑥)=1+𝑒𝑥𝑥无零点判断，A错.又𝑓′(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥−1𝑥2，当𝑥∈(0,1)时𝑓′(𝑥)0，故𝑓(𝑥)在(0,1)为减函数，所以B正确.𝑓(−1)=−1−1𝑒,𝑓(3)=1+𝑒33，因𝑓(−1)+𝑓(3)≠0，故函数的图像不关于(1,0)对称，所以C错误.答案第3页，总25页考虑𝑦=𝑒𝑥及𝑦=1𝑥−1的图像（如图所示），它们在(−∞,1)∪(1,+∞)上有且仅有一个交点，故𝑓′(𝑥)在(−∞,1)∪(1,+∞)上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故𝑓(𝑥)有一个极值点，所以D错.综上，选B.【点睛】（1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要零点存在定理和函数的单调性来考虑.（2）如果函数的解析式满足𝑓(𝑎−𝑥)+𝑓(𝑎+𝑥)=2𝑏，那么函数的图像关于(𝑎,𝑏)对称.5．B【解析】【分析】“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f′（x）=3+aeax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围．【详解】设f（x）=eax+3x，则f′（x）=3+aeax．若函数在x∈R上有大于零的极值点．即f′（x）=3+aeax=0有正根．当有f′（x）=3+aeax=0成立时，显然有a＜0，此时x=1𝑎ln（﹣3𝑎）．由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3．故选：B．【点睛】答案第4页，总25页本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．6．B【解析】【分析】对函数求导，由y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，即可得出结论．【详解】y′=2x+x•2xln2=（1+xln2）•2x=0，即1+xln2=0，x=﹣1𝑙𝑛2．函数在(−∞，﹣1𝑙𝑛2)上单调递减，在(﹣1𝑙𝑛2，+∞)上单调递增，∴函数的极小值点为﹣1𝑙𝑛2故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．7．C【解析】【分析】利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．【详解】f′（x）=3x2+2ax+b．（1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵𝑓(−2𝑎3−𝑥)+f（x）=(−2𝑎3−𝑥)3+𝑎(−2𝑎3−𝑥)2+𝑏(−2𝑎3−𝑥)+𝑐+x3+ax2+bx+c=427𝑎3﹣答案第5页，总25页2𝑎𝑏3+2c，𝑓(−𝑎3)=(−