现代控制理论总复习

第一章一、基本概念1）状态空间表达式是由状态方程和输出方程组成；状态方程是一个一阶微分方程组，主要描述系统输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关系。因此，状态空间表达式反映了控制系统的全部信息；2）对于不同的控制系统，根据相应的物理和化学定理，可建立其系统的状态空间表达式；3）对于同一系统，由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递函数阵却是惟一的，即所谓传递函数阵的不变性；没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现，即在所有实现中，它的阶数最小。4）由于状态变量选择的不惟一，对于同一系统，其状态空间表达式可能不同，但状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数；5）微分方程、传递函数和方块图与状态空间表达式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模型以微分方程的形式描述且输入函数包含导数项时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空间表达式，这种方法可大大简化其求解过程；6）状态空间表达式经线性变换可化系统矩阵A为对角线标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征值互异，必存在非奇异变换阵，将系统矩阵A化为对角线标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时，一般来说，经线性变换，可将A化为约当标准型；但在有些情况下也能将A转换为对角线标准型；7）线性非奇异变换不改变系统的基本特征量，如线性非奇异变换不改变系统的特征值、传递函数阵等；二、要求1）掌握根据系统的物理机理建立系统状态空间表达式的方法；2）会用系统结构图与模拟结构图来描述系统的状态空间表达式；3）掌握由系统的微分方程式建立系统状态空间表达式的两种方法；4）掌握由系统方框图建立状态空间表达式的方法；5）掌握由系统的传递函数建立系统状态空间表达式的三种方法；6）掌握由系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法；7）掌握由组合系统的状态空间表达式求传递函数阵的方法；8）利用线性变换可将状态方程化为对角线标准型或约当标准型；()(1)()(1)110110nnmmnmmyayayaybubububu11101110()()()mmmmnnnYsbsbsbsbWsUssasasauyduxAxbcx实现实现存在的条件：m≤n当mn时，d=0当m=n时，可以用长除法求得d=bm≠0，问题化为11111001110()()()()nnnnnnnnnnbabsbabsbabWsbsasasa输出含有与输入直接关联的项状态空间表达式的建立（P25、P26）12011nnnxxycccbux11221101210100000100000101nnnnnxxxxuxxaaaaxx1iiiicbab（i=0，1，2，…，n-1）能控标准Ⅰ型能观标准Ⅱ型能控标准Ⅰ型101021213232111210001000000000001nnnnnnnxaxcxaxcxaxcuxaxcxxybuxx对偶例设系统传递函数如下，试写出其标准状态空间描述。2322116()81710ssWssss解：1）能控标准Ⅰ型112233123010000101017816112xxxxuxxxyxx2322116()81710ssWssss2）能观标准Ⅱ型能控标准Ⅰ型112233123010000101017816112xxxxuxxxyxx112233123001061017110182001xxxxuxxxyxx状态空间描述变换为标准形-1-1-1zTATz+TBu=Jz+TBuyCTzxAxBuyCx选择适当的变换矩阵T，使变换后的相似矩阵J为对角线型或约当标准形（i=1，2，…，l）特征值有重根求标准形（P38）A的特征根有q个λ1的重根，其余（n-q）个互异根，则121qqnTppppppq+1，…，pn求解方法同前。1111221110qqqpAppApppAppp1，…，pq例系统矩阵如下，试求将其变换成约当型矩阵的变换矩阵T。412102113A412120113IA解：12331，1110pAp111112121313341231023113pppppp0111213111ppp1p1221pApp212122222323341213102131131pppppp212223100ppp2p111213111ppp1p212223100ppp2p333pAp313132323333412102113pppppp110102101T1012112011T1012412110310112102102030011113101001T=PAP第二章一、基本概念1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。000()()()()()dtttttttxΦxΦBu2）线性定常连续系统齐次状态方程的解可表示为00()()()ttttxΦx3）状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息它可以完全表征系统的动态特性。4）线性时变系统非齐次状态方程的解在形式上类似于线性定常系统，即000()(,)()(,)()dtttttttxΦxΦBu式中，为线性时变系统的状态转移矩阵，与线性定常系统状态转移矩阵有着显著区别。0(,)ttΦ0()ttΦ5）离散系统状态方程可以采用迭代法和Z变换法来求解。6）线性定常连续系统的离散化，离散化的状态空间表达式为[(1)]()()()()()()()kTTkTTkTkTkTkTxGxHuyCxDu式中0()e,()edTTtTHTtAAGB7）线性时变连续系统的离散化,离散化的状态空间表达式为[(1)]()()()()kTkTkTkTkTxGxHu()()()()()kTkTkTkTkTyCxDu式中()()()()tkTtkTkTtkTtCCDD二、基本要求1）熟练掌握状态转移矩阵的求解方法、性质、线性定常连续系统齐次状态方程的解2）熟练掌握线性定常连续系统非齐次状态方程的解；状态转移矩阵φ(t,t0)的基本性质1.φ(t,t0)满足自身的矩阵微分方程及初始条件00(,)()(,)tttttA00(,)ttIA和φ(t,t0)一般不能交换2.传递性202110(,)(,)(,)tttttt3.可逆性100(,)(,)tttt例已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。解：（1）单位脉冲响应()tttee(0)AAxxBK12(0)0101()()()(0)(0)4010xttutx，xxx1cos2sin222sin2cos2tttettA1110cos2sin2cos2sin222012sin2cos22sin2cos2tttttttt1cos2sin222sin2cos2tttt（2）单位阶跃响应1()(0)()ttteeAAxxAIBK111101100cos2sin2cos2sin2220400112sin2cos22sin2cos2tttttttt1cos2010cos21sin2122sin240142sin2cos21tttttt5cos21cos2cos21142sin22sin254sin22tttttt（3）单位斜坡响应21()(0)[()]ttteetAAxxAIABK21[()]tetAAIABK210110010cos2sin21124001401442sin2cos2ttttt110010cos21sin211201401442sin2cos21ttttt11sin28411cos244ttt1111sin2cos2sin2cos28484()2sin21111cos22sin2cos24444tttttttttttx一．基本概念1）系统的状态能控性（1）若线性连续定常系统在有限时间间隔[t0,tf]内存在无约束的分段连续输入信号u(t)，能使系统以任意初始状态x(t0)转移到终止状态x(tf)，则称系统是状态完全能控的。第三章,)（AB（2）线性定常连续系统常用能控性判据：(a)rankM=rank。(b)当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B中无全零行；当A为约当阵且相同特征值分布在一个约当块内时，B中与约当块最后一行对应的行不全为零，且B中相异特征值对应的行不全为零。(c)的行向量线性无关。(d)单输入单输出系统为能控标准型。(e)单变量单输出系统，由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消。1nnBABAB1()sIAB(,)Ab（3）连续系统状态方程离散化后的能控性：连续系统不能控，离散化后的系统一定不能控；连续系统能控，离散化后的系统也不一定能控（与采样周期的选择有关）。2）系统的状态能观测性（1）若线性连续定常系统能根据有限时间间隔[t0,tf]内测量到的输出y(t)，唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是状态完全能观测的。（2）线性定常连续系统常用能观