线与线线与面面与面平行的判定与性质

第1页共89页1.直线与直线(1)空间两条直线的位置关系有________、________、________三种．(2)过直线外一点________一条直线和这条直线平行．(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________，又叫做空间平行线的传递性．平行相交异面有且仅有平行第2页共89页(4)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角________．(5)空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做________，这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做________；连结不相邻的顶点的线段叫做__________________．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．空间四边形的对角线相等空间四边形四边形的边第3页共89页2．直线与平面平行(1)直线与平面的位置关系有：①平行：________②________：直线和平面有且只有1个公共点③直线在平面内：_______________________，其中①、③也叫________直线和平面没有公共点相交直线和平面有无数个公共点直线在平面外第4页共89页•知识归纳•一、直线与平面平行•1．判定方法•(1)用定义：直线与平面无公共点．第5页共89页第6页共89页•二、平面与平面平行•1．判定方法•(1)用定义：两个平面无公共点第7页共89页(3)其它方法：第8页共89页•2．性质定理：•3．两条直线被三个平行平面所截，截得对应线段成比例．第9页共89页课前训练：1.设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：AA′∥BB′∥CC′∥DD′.答案：C第10页共89页2．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交解析：只有在b与α内所有直线都不相交，即b与α无公共点时，b∥α.答案：D第11页共89页3．在空间，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．答案：D第12页共89页4．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为._______________lmllmlmall①m②∥③∥；∥；答案：l⊄αl⊄αl⊄α第13页共89页5．a，b，c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：其中正确的命题是________． acarababbcbrccacac∥∥①∥②∥∥∥∥∥③∥④∥∥∥答案：①第14页共89页类型一：直线与直线平行第15页共89页解题准备：平行于同一直线的两条直线互相平行例1如图，若α∩β＝a，α∩γ＝b，γ∩β＝c，且a∥b，求证：a∥b∥c.第16页共89页[分析]利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得．[证明]∵b∥a，a⊂β，b⊄β，∴b∥β(线线平行，则线面平行)．∵b⊂γ，γ∩β＝c，∴b∥c(线面平行，则线线平行)，∴a∥b∥c.第17页共89页[评析](1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线，应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线，条件必须充分满足了才得结论．(2)本题证明是：线∥线―→线∥面―→线∥线．第18页共89页•练习1.已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②l⊥n，l⊥m，n⊂α，m⊂α，则l⊥α；③α⊥β，α∥γ，则β⊥γ；④m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3第19页共89页•解析：①若α∩β＝l，而m∥l，m⊄α，m⊄β，则m∥α，m∥β，故①错误；•②若m∥n，则l不一定垂直于α，故②错误；•③一个平面垂直两个平行平面中的一个平面，则必垂直另一个平面，故③正确．•④若α∩β＝l，而m⊂α，n⊂β且m∥l，n∥l，则m∥n.故④错误，故选B.•答案：B第20页共89页2.若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()•A．若m∥α，n∥α，则m∥n•B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β•C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β•D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α第21页共89页•解析：如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；•如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；第22页共89页•如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.第23页共89页点评：D选项证明如下：•α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.答案：D第24页共89页类型二：线面平行解题准备：1.证明线面平行的方法(1)依定义采用反证法．(2)判定定理法(线线平行⇒线面平行)．(3)面面平行的性质定理(面面平行⇒线面平行)．第25页共89页2．应用线面平行判定定理的思路在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，要在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，在找(或作)这一条直线时，由线面平行的性质定理知，在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行，所以要通过平面来找(或作)这一条直线．在应用其他判定定理和性质定理时，要注意充分利用条件构造定理的题设，在分析思路时也要以定理作为指导．第26页共89页例1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.第27页共89页[分析]要证EF∥平面ABCD，方法有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD内确定EF的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF作与平面ABCD平行的平面．第28页共89页[证明]方法一：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥BC于N，连结MN(如图)．则EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，∴EM＝FN，∴四边形EMNF是平行四边形，∴EF∥MN.又∵EF⊄平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.1111111EMAEBFAEFNEMFNBBCCBBABBCABCCBBCC11＝，＝＝，＝，又＝，第29页共89页方法二：连结B1F，并延长交BC的延长线于点P，连结AP(如图)．∵BP∥B1C1，∴△B1FC1∽△PFB，又∵EF⊄平面ABCD，AP⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.111111...BFCFFBBFABBCBECFCFBEBEBFAEBFBFEAEAFPEFAP1111＝＝，＝，＝，＝＝，∥第30页共89页方法三：过点E作EH⊥BB1于点H，连结FH(如图)．∵B1C1∥BC，∴FH∥BC.∵EH∩FH＝H，∴平面EFH∥平面ABCD.∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面ABCD.1111111111111..BEBHEHABBABBABBCBECFBECFBHCFFHBCBACBBBCB11111则∥，所以＝＝，＝，＝，＝，∥第31页共89页[评析]判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．第32页共89页[探究1]如图，已知：P是▱ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.第33页共89页[分析]根据线面平行判定定理知要证线面平行关键是寻找线线平行．[证明]连结AC、BD相交于O点，连结MO.∵O为BD的中点，M为PB的中点，∴MO∥PD.又∵MO⊂平面ACM，PD⊄平面ACM，∴PD∥平面MAC.第34页共89页[评析]证明线面平行，关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b，如果没有现成的平行线，应根据条件作出平行线，有中点的常作中位线，简称中位线法．第35页共89页[例2]如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别为CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.第36页共89页解析：考虑到P、Q分别是CC1、C1D1的中点，可以知道PQ∥CD1，这样就可将问题转化，通过证明平面ACD1∥平面BPQ来证AC∥平面BPQ.即由面面平行证线面平行．连结CD1、AD1，∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，且AD1⊄平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ，∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.第37页共89页例.如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．第38页共89页证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD，BC分别是平面ABCD与AA′D′D，平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.第39页共89页练习.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1棱AA1，CC1上的点且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．第40页共89页第41页共89页第42页共89页类型三：面面平行的证明方法解题准备：1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外，还有：(1)如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．(2)如果两个平面和同一个平面平行，那么这两个平面平行．第43页共89页2．平行问题的转化方向如图所示：第44页共89页注意：(1)在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立．(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时第三个平面需要作出来．第45页共89页例1.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中求证：平面AB1C∥平面A1C1D[分析]要证明面AB1C∥面A1C1D，根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC∥面A1C1D，AB1∥面A1C1D，且AC∩AB1＝A，即可．第46页共89页1111111111111111111111[].AABBAABBAACCBBCCBBCCAACCACACACACDACACDABACDACACDACABAABCACD1111111∥证明　方法一：∥∥四边形为平行四边形∥平面平面同理∥平面平面平面∥平面第47页共89页111111111111111111.AACCACACACACACACACACACABCACABCADABCACABCACADAABCACD11111111111方法二：易知和确定一个平面，于是，平面AC平面AC=AC　　平面平面平面∥平面∥∥平面平面同理∥