随机变量及其分布列知识点

ξ取每一个值的概率123,,,,ixxxxξx1x2…xi…pp1p2…pi…为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列.则称表格(1,2,)ixi()iiPxpx设离散型随机变量ξ可能取的值为注:离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,123ipi，，，≥123(2)1ppp离散型随机变量的分布列如果随机变量ξ的分布列为：一、两点分布列ξ10Pp1-p这样的分布列称为两点分布列(又称0-1分布),称随机变量ξ服从两点分布,而称P(ξ=1)=p为成功概率.二、超几何分布nNknMNkMCCCkXP)(k=0,1,2,……,m则随机变量X的概率分布列如下：发生的概率为：件次品数，则事件件，其中恰有件产品中，任取件次品的在含有kXXnNM像上面这样的分布列称为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布。X01……mP……nNnMNMCCC00nNnMNMCCC11nNmnMNmMCCC*,,,,,,minNNMnNMNnnMm且其中注:超几何分布的模型是不放回抽样三、二项分布),(~,)1()(,pnBXXppCkXPknpknkkn记作二项分布服从，这样的随机变量次的概率为事件恰好发生次独立重复试验中这个那么在生的概率为在一次试验中某事件发.).,...,2,1,0(1)(:服从二项分布所以称这样的随机变量项中的第恰好是二项展开式由于注XnkkpqqpCnknkkn于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)px2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数x.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnNx⑵如果是不放回地取,则x服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmCx(其中min(,)mMn（即n=1的二项分布）四、正态分布xxxx,,,~22DEN则），（若baNxx），，（若性质2~:),~22abaN（则X落在区间(a,b]的概率为:abXY,()yx,()()baPaXbxdx特殊区间的概率:μ-aμ+ax=μ,()()aaPaXaxdx上述计算结果可用下表和图来表示：区间取值概率,2,23,36826.09544.09974.06826.09544.09974.0根据定义可推出下面三个结论:一般地，随机变量ξ的概率分布列为则称1122iinnExpxpxpxpx为的数学期望或均值，简称为期望.x它反映了离散型随机变量取值的平均水平.P1x2xnx1p2pnpxixip结论1：则;,abx若EaEbx结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.数学期望的定义:结论3:若随机变量x服从几何分布，则Ex=1/p离散型随机变量取值的方差和标准差:一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnpx它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。..)(...)()(2222121的标准差为随机变量＝称的方差为随机变量则称xxxxxxxxDpExpExpExDnn为常数）：性质baDabaDEED,()()2()()1(1222xxxxx性质2：（1）若x~两点分布，则Dx=p(1-p);（2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p);（3）若x～几何分布，则Dx=(1-p)/p2.易证离散型随机变量的方差满足以下性质：_____)(2DXEXaXD练习：DXa2定义：一般地,设A,B为两个事件,且()0PA,称()(|)()PABPBAPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.注:⑴0(|)PBA≤≤1;⑵几何解释:⑶可加性：如果BC和互斥，那么()|(|)(|)PBCAPBAPCAABAB条件概率：相互独立事件的定义:设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立.)()()(BPAPABP显然:(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.①；与BA②AB与；③.BA与(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:(2)相互独立事件:指在不同试验下的两个事件互不影响.(1)互斥事件:指同一次试验中的两个事件不可能同时发生.注：)()()(BPAPABPBA相互独立、即)()...()()...(2121nnAPAPAPAAAP(2)一般地,如果事件A1,A2,…,An两两相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积，即注:(1)若事件A1，A2，…，An中任意两个事件相互独立，则称事件A1，A2，…，An两两相互独立.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”显然，12()nPAAA=∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,∴上面等式成立.12()()()nPAPAPAn次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.注:独立重复试验模型满足以下三方面特征，第一：每次试验是在同样条件下进行;第二：各次试验中的事件是相互独立的;第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.n次独立重复试验的公式:次的概率为恰好发生事件独立重复试验中次那么在发生的概率为在每次试验中事件为发生的次数设事件次独立重复试验中在一般地kAnpAXAn,,,,,)1(.,...,2,1,0,)1()(pqnkqpCppCkXPknkknknkkn其中;)1(,:knkppknkAn次不发生的概率为而在其余的次发生在某次独立重复试验中事件首先解释.,,个事件彼此互斥且它对应的种有式次发生的不同的发生方次试验中有在事件其次knknCCknA注:n为重复试验的次数；p是在1次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立试验中事件A发生的次数.