八年级-四边形、三角形综合证明题

八年级四边形、三角形综合证明题一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分）1．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）A．28B．32C．18D．25D．【解析】延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选D．2．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3nB．3n（n+1）C．6nD．6n（n+1）答案：B．【解析】从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选B．3．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对答案：C．【解析】设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；4．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②③B．只有①②C．只有③④D．①②③④答案：A【解析】：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=DC∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA，∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，∴∠CDF=∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，∵BC=AD=AF，BE=AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF=∠BEC，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．故选A．5．顶点为A（6,6），B（﹣4,3），C（﹣1,﹣7），D（9,﹣4）的正方形在第一象限的面积是（）A．25B．30C．36D．49答案：C．【解析】连接OA，过A、D两点的直线方程是=，即y=﹣x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，同理求得过A、B两点的直线方程是y=﹣x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，∴S△AOE==23.4，S△AFO==12.6，∴S△AOE+S△AFO=23.4+12.6=36，即顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是36．6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm2答案：B．【解析】连接MN，作AF⊥BC于F．∵AB=AC，∴BF=CF=BC=×8=4，在Rt△ABF中，AF==，∵M、N分别是AB，AC的中点，∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，∴NM=BC=DE，∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75，∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．故选：C．7．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（）A．B．C．D．答案：A【解析】如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠GCP=60°，∴=；故选A．8．在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①BD平分∠CDE；②2AB+EF=4AD；③（﹣1）CD=DE；④CF：AE=（+1）：其中正确的是（）A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②③答案：D【解析】如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N．∵∠BMD=∠MDN=∠N=90°，∴四边形BMDN是矩形，∴∠MBN=∠CBA=90°，∴∠CBM=∠EBN，∵BC=BE，∠BMC=∠N，∴△BCM≌△BEN，∴BM=BN，∵BM⊥CD，BN⊥DE，∴∠BDN=∠BDM，故①正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE=DK，∵CD⊥EK，∴CE=CK，∠DCK=∠DCE=22.5°，易证∠K=∠AED=∠CED=∠EFD=∠CBF=67.5°，∴DE=DF，HF=HE，BC=CF，易证△DEA≌△DEH，∴AE=EH=HF，设AD=DG=a，则BC=BE═CF=2a，∵EC=2a，∴EF=2a﹣2a，AE=EH=HF=a﹣a，∴2AB+EF=2（2a+a﹣a）+2a﹣2a=4a=4AD，故②正确，∴（﹣1）CD=（﹣1）•=a，∵DE===a，∴（﹣1）CD=DE，故③正确，∵==2（+1），故④错误，故选D．二．填空题（共8小题，每小题5分，共40分）9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则BED的度数是．答案：45°．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=．答案：30°．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．11．如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，连接对角线BD交AE于M，交AF于N，若DN=1，BM=2，那么MN=，有DN2+BM2=MN2．答案：30°．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．12．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形．答案：15．【解析】两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．13．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．答案：，．【解析】：（1）∵O1和O2分别是两个正方形的中心∴∠O1BC=∠O2BC=45°∴∠O1BO2=∠O1BC+∠O2BC=45°+45°=90°∴△O1BO2为直角三角形∵O1B==a，O2B==b∴S△O1BO2=O1B•O2B=•a•b=ab∴阴影部分的面积为ab；（2）在Rt△O1BO2中，由勾股定理可得：O1O2===．故答案为：；．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，点O为平行四边形内一点，它到直线AB，BC，CD距离分别为a，b，c，且它到AD和CD的距离相等，则2a﹣b+c=．答案：0．【解析】如图所示：∵O它到AD和CD的距离相等，∴OE=c，∵平行四边形的面积=AB（a+c）=AD（b+c），AB=2AD，∴2（a+c）=b+c，∴2a﹣b+c=0．故答案为：0．15．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC被点D、E三等分，且BC=3AC，那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=°．答案：90°．【解析】如图，以BC为边作正方形BCMN，在MN上取点P、Q，使MP=PQ=QN，连接AP，PD，DQ，则有AM=CD，MP=AC，△ACB≌△PQD，易得△APM≌△DCA所以AP=AD且∠DAC+∠PAM=90°，即△APD是等腰直角三角形所以∠ABC+∠ADC=∠PDQ+∠ADC=90°﹣∠ADP=90°﹣45°=45°又由题意知∠AEC=∠EAC=45°所以∠AEC+∠ADC+∠ABC=90°16．如图，设正方形ABCD的边长为1，在各边上依次取A1，B1，C1，D1，使，顺次连接得正方形A1，B1C1，D1，用同样方法作得正方形，A2B2C2D2，并重复作下去，使新的正方形的顶点在上一个正方形的边上，且使A1A2=，…，这样正方形A5B5C5D5的边长等于．答案：．【解析】S△ABCD=1．又，∴．同理，∴．故答案为．三．解答题（共5小题，共48分）17．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．证明：连接AD（如图），∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AEPF是矩形，∴AE=FP，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=DC，