3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1、理解空间向量基本定理2、理解空间向量的单位正交分解及坐标表示3、会用坐标表示向量的运算，并会求解距离和夹角4、会用坐标运算来证明平行和垂直1211212212eeaaeeee如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使＝＋。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）复习回顾：平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示xyoaij(,)axiyjxy(1,0),(0,1),0(0,0).ij任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使,,abcp.pxaybzc都叫做基向量,,abc新知探究：空间向量基本定理{,,}xyz（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注：对于基底{},除了应知道不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。新知探究：空间向量基本定理,,abc,,abcxyzOijkQPp.OPOQzk.OQxiyj.OPOQzkxiyjzk由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得,,ijkp我们称为向量在上的分向量。,,xiyjzk,,ijkp,,ijk特殊的：两两垂直时新知探究：空间向量的正交分解pxiyjzk二、空间向量的正交分解三、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标新知探究：空间向量的正交分解xyzOA(x,y,z)e1e2e3单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用表示123,,eee给定一个空间坐标系和向量,且设为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使有序数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)123,,eee123pxeyezepp其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.BOACPNMQ已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.例1例21、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，22132eeeAB321eee、、AB新课探究：空间向量运算的坐标表示一、向量运算的坐标表示设123123(,,),(,,)aaaabbbbababaab//abab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)()aaaR112233ababab112233,,()abababR1122330.(,)abababab都不是零向量若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)二、向量的模和两点间距离的坐标表示222212121||()()()ABxxyyzz（1）向量的长度（模）公式已知(,,)axyz,则222axyz（2）空间中两点间的距离新课探究：空间向量运算的坐标表示注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab已知111222(,,),(,,)axyzbxyz则121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz三、向量的夹角的坐标表示新课探究：空间向量运算的坐标表示四、中点坐标公式已知111222(,,),(,,)AxyzBxyz则线段AB的中点坐标为121212(,,)222xxyyzz新课探究：空间向量运算的坐标表示F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例2如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。