线性代数习题1.5行列式按行(列)展开

上一页下一页首页结束返回线性代数第一章§1.5行列式按行（列）展开行列式上一页下一页首页结束返回线性代数定义：在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211元素aij的代数余子式记作Aij=(-1)i+jMij.11?M例如222112nnnnaaMaa一、余子式和代数余子式元素aij的余子式记作Mij；§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数312793401D734132M19197341)1(2332Aex1.设.3232AM和，求§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如二、行列式展开定理§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数证：当位于第一行第一列时,ijannnnnaaaaaaaD21222211100即有.1111MaD又1111111MA,11M从而.1111AaD再证一般情形,此时§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数nnnjnijnjaaaaaaaD1111100行对调，得第行第行行依次与第的第把121,,,iiiDnnnjnninijijiiinjijiaaaaaaaaaaaaaD11111111111111001,,,,,,ijaija§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数列对调，得，第列，列，第列依次与第再把第121jjjnnnjnjnnjninijijijijiijiijinjjjijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111111111111111111111000011,,ijijjiMa1ijijAaija证毕§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1njnjjjjjAaAaAaD2211nj,,2,1:行展开按i:列展开按j§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数证：nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数例1.设601504321D58292543106131061542D58292010436154260501D按第二列展开得按第一行展开得§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数3351110243152113D5011535103111D:解00110551111115)1(13305511110265526)1(13240第三行只有1个非零的元素，故按该行展开第三列只有1个非零的元素，故按该列展开例2.§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数例3.计算nnnnndcdcbabaD11112nnnnnnnddcdcbabaaD0000111111112解：按第1行展开0011111111112cdcdcbababnnnnnnn)(递推法§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数nnnnnnnddcdcbabaaD00001111111120011111111112cdcdcbababnnnnnnn)(再按最后一行展开得递推公式D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2于是niiiiinDcbdaD222)(，而111111112cbdadcbaD所以niiiiincbdaD12)(§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数例4.范德蒙行列式11211222212121111nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD,,,1jinjixx)(122311312nnnnxxxxxxxxxxxx1证:用数学归纳法21211xxD12xx,)(12jijixx）式成立．时（当12n§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数现在假设结论对于阶范德蒙德行列式成立，要证结论对阶范德蒙德行列式也成立，为此，要将降阶，1nnnD11nrxnD113121122322213211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx11nnrxr213rxr112rxr21rx11rx将前一行乘以加到后一行上1x（从后往前）§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并把每列的公按第)(11xxi§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数)()())((211312jjininnxxxxxxxxD).(1jjinixx223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxxn-1阶范德蒙德行列式证毕§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数333322225432543254321111:ex12(32)(42)(52)(43)(53)(54)§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数推论：n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，1ia1sA即0.,tjAaAaAantnjtjtj02211行i行s2sAsnA2iainasnssiniiaaaaaaD2121si,§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数3351110243152113D例5.设;.D1;.443424143422AAAA..14131211023AAAA40400§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数关于代数余子式的重要性质;,,,jijiDDAaijnkkjki当当01;,,,jijiDDAaijnkjkik当当01.,,jijiij当，当其中01§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式化为低阶行列式计算的重要工具.;,,,.jijiDAankkjki当当021;,,,jijiDAankjkik当当01内容小结3.牢记范德蒙行列式的形式和计算结果.§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数1).依定义计算行列式;2).用对角线法则计算行列式;仅适用于二、三阶行列式3).利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式．三角形行列式一行（列）全为零的行列式两行（列）成比例的行列式范德蒙行列式4.行列式的计算方法：§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数4).利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式．5).利用按行（列）展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式．6).用数学归纳法计算行列式．7).综合运用上述各法来计算行列式．其中3)，4)，5)，6)，7)最常用．8).利用数学软件，如matlab.§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数作业5(5);7(6)习题一（P23）：§1.4行列式的性质§1.4行列式的性质上一页下一页首页结束返回线性代数上一页下一页首页结束返回线性代数2,2,1,5;3,4,1,2;0,3,1,2;1,1,1,1A2215341203121111AADdet38D2215341203121111上一页下一页首页结束返回线性代数思考与练习教材P23：5(1)(4);7(1)(3)(4)(5)(6).§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数5(1).证明：1112222bbaababa00122222221213ababaabaabaccccabababaab22122213)(21abaabab))(((ab)3§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数5(4).证明：444422221111dcbadcbadcba)()()()()()(2222222220001111addaccabbaddaccabbadacab)()()())()((addaccabbdcbadacab222111))(())(())()((abdbddabcbccbdbcadacab00111§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数)()())()()()((abddabccbdbcadacab11=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数7(1).解:aaaaaDn00010000000000001000)()()(111000000000000100001nnnaaa)()()(1121nnnaaa(按第n行展开)§1.5行列式按行（列）展开上一页下一页首页结束返回线性代数nnnnnaaa))(()()(22111anan2an2(a21))()()(111000000000000100001nnnaaa)()()(1121nnnaaa§1.5行列式按行