第三章量子力学基础

§3.1波粒二象性§3.2不确定性原理§3.3波函数及其物理意义§3.4薛定谔波动方程§3.5定态问题的几个简例§3.6量子力学对氢原子的描述§3.7量子数的物理意义第三章量子力学基础IntroductiontoQuantumMechanics一、背景二、物质波假说三、电子波动性的实验验证§3.1物质的二象性与德布罗意假说一、背景玻尔理论的困境：由于玻尔理论是半量子半经典的理论，虽然取得了巨大的成功，但是遇到了许多困难、质疑和非难，也无法向前发展。爱因斯坦的光量子假说：长时间不被承认，到1916年密立根光电效应实验、1919年Compton效应发现，才得到广泛的接受，光的波粒二象性被人们所认识。巴黎大学博士生deBroglie是A.Einstern的崇拜者，相信光的波粒二象性是一种普遍现象。§3.1物质波经典物理学中的粒子和波经典物理学：波和粒子是完全不同的概念是自然界中仅有的两种能量传递的方式。是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。无法用波和粒子描述同一事物。粒子的特性：定域性，占据一定的空间，有确定的质量和动量；粒子和粒子之间是分离的；粒子的运动有确定的轨道。波的特性：广延性，周期性，迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。二、光的波粒二象性光是一种电磁波，并被干涉、衍射、偏振等实验和麦克斯韦理论完全证明。光在传播时显示波动性。hphkp光是粒子性和波动性的矛盾统一体。或光的波动性:光的粒子性：光电效应和康普顿效应等证明光的粒子性。光在与物质作用，转移能量时显示粒子性。“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而过分忽略了波的图象？”“所有的物质粒子（mo不等于零）都具有波粒二象性，任何物质粒子都伴随着波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。”1、德布罗意的物质波假说（LouisVictordeBroglie1892–1987)思想方法：自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设.1929Nobel—P调侃的《量子力学史话》——若水阁博客三、物质波假说（1924年）L.V.deBroglie（法，1892-1986）既然光(波)具有粒子性那么实物粒子也应具有波动性波动性(,v)粒子性(m,p)光++实物粒子+？1924.11.29，德布罗意把题为“量子理论的研究”的博士论文提交给巴黎大学。1929年诺贝尔物理奖三、物质波假说（1924年）§3.1物质波实物粒子具有波粒二象性220221/mcEmchhhcv2201/hhhcpmmvvv频率波长与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波hhPm2Emchh论文指出:爱因斯坦--德布罗意关系式一个能量为E、动量为P的实物粒子同时具有波动性，波长和频率分别是相对论质能关系普遍：hEmvhph德布罗意关系式：非相对论性粒子：vmhEmhk002若电子是由电场加速获得的动能，则波长为：)(225.12200VVnmeVmhEmhk例在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？eV200解:20k21,vvmEc0k2mEv1-613119sm104.8sm101.9106.12002vnm1067.82nm104.8101.91063.6631340vmhc此波长的数量级与X射线波长的数量级相当.nmVVnm0867.0200225.1)(225.1,或德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道角动量量子化条件。λr2rnhm2rmnh朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”，“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”德布罗意在博士答辩中指出这种波怎样用实验耒证实:“用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”法国一直没有此实验进行，1927年，美国的戴维逊在收到论文复印件后第二天动手实验，同时英国的汤姆逊也独立得出电波的衍射图样。1937年戴维逊和汤姆逊共同获得诺贝尔奖。一般光栅的为10-7m数量级，但是电子波长为10-11m数量级，所以看不到衍射现象。三、物质波假说（1924年）§3.1物质波戴威逊—革末实验装置示意图四、电子波动性的实验验证(Davisson-Germer,1927)目的证明电子具有波动性原理1）电子波长的估计Vnm225.12）衍射波极大值的条件ndsin2Davisson：1937Nobel-P晶体结构：当时加强----布拉格公式。ndsin22)12(sin2nnd波程差：可用实验检验的公式：nV06.3实验原理图nkdAnVsin225.12对于镍单晶，d=2.03Å，若取=80°，则：即：衍射极大随的变化周期为3.06，结果正是这样V固定加速电压，改变角度，在某些角度出现衍射极大固定和d不变，=800，d=2.03Å，改变加速电压，周期性地出现衍射极大镍单晶上的衍射实验结果观测到电子衍射现象X射线电子束（波长相同）衍射图样电子双缝干涉图样杨氏双缝干涉图样戴维逊、汤姆逊共获1937年诺贝尔物理奖电子在单晶上的衍射电子在多晶上的衍射G.P.Thomson（J.J.Thomson之子)1927实验,1937Nobel-P例m=0.01kgv=300m/s的子弹.34346.63102.21100.01300mhhPmh太小了使得宏观物体的波长小得难以测量宏观物体只表现出粒子性1.波粒二象性是普遍的结论——宏观粒子也具有波动性m大0或说h量子物理过渡到经典物理对波粒二象性的理解2.单电子双缝实验现代实验技术可以做到让电子一次一个地通过缝7个电子在观察屏上的图像100个电子在屏上的图像屏上出现的点子说明电子的粒子性30002000070000随电子数目增多,在屏上逐渐形成了衍射图样说明“一个电子”就具有的波动性来源于“一个电子”所具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。2)波动性可叠加性——有干涉、衍射及偏振现象；不是经典的波，不代表实在物理量的波动。1)粒子性整体性；不是经典的粒子，没有“轨道”概念。3.正确理解微观粒子的波粒二象性3)结论：微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，两种性质虽寓于同一体中,却不能同时表现出来。两种图像不会同时出现在你的视觉中。少女？老妇？“量子滑雪者”解：在热平衡状态时,按照能均分定理慢中子的平均平动动能为例3试计算温度为时慢中子的德布罗意波长.C25K)298(TeV1085.3232kTkg1067.127nm124nsmkg1054.42mpnm146.0ph慢中子的德布罗意波长应用举例:1985Nobel—P1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜;1982年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜.D—G革的电子衍射实验有利地证明了电子的波动性及德布罗意公式的正确性。三十年代以后，实验进一步发现了中子、质子、中性原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具有波动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。且波长都由=h/p确定，进一步证实了德布罗意假设的真实性。由于h很小，当p=mv很大时，，宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系式不适用。高压电源电子源加速区电磁线圈（聚光焦）被观测的样品电磁线圈（物镜）第一个像电磁线圈（像投影仪）最后的像电子显微镜里的磁聚焦透镜排列原理图电子波动性的实际应用§3.2不确定性关系UncertaintyRelation一、坐标和动量的不确定性关系二、能量和时间、角动量和角位移的不确定性关系大量电子一次入射，立即在屏幕上形成衍射图样方法一方法二电子一个一个的入射，经过足够长的时间，在屏幕上形成同样的衍射图样1、用电子单缝衍射实验说明不确定性关系一、坐标和动量的不确定性关系28只电子1000只电子1万只电子几百万只电子phbhpxhpxxbsin一级最小衍射角电子经过缝时的位置不确定.bxbpppxsin电子经过缝后x方向动量不确定用电子衍射说明不确定关系yxhphpb电子的单缝衍射实验ohpxx考虑衍射次级有2、不确定性关系式（Heisenberg，1927）2qp分量形式：2/2/2/zpypxpzyx海森堡严格推出：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述.1932Nobel—P1）微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制；2）不确定的根源是“波粒二象性”这一根本属性；物理意义3）对宏观粒子，因很小，所以可视为位置和动量能同时准确测量.h0xpx例：球面波：平面波：xpx，00xpx，1smkg2vmp解子弹的动量例1一颗质量为10g的子弹，具有的速率.若其动量的不确定范围为动量的(这在宏观范围是十分精确的),则该子弹位置的不确定量范围为多大?1sm200%01.014smkg102%01.0pp动量的不确定范围m103.3m1021063.630434phx位置的不确定量范围例2一电子具有的速率,动量的不确范围为动量的0.01%(这也是足够精确的了),则该电子的位置不确定范围有多大?1-sm200128smkg108.1p解电子的动量131smkg200109.1vmp132smkg108.1%01.0pp动量的不确定范围m107.3m108.11063.623234phx位置的不确定量范围思考：原子核内为什么不可能有电子？3、物理意义2xpx1)当粒子的位置x完全确定(x0)，则粒子的动量px完全不确定（px)；反之，当粒子处于动量px完全确定的状态时（px)，其坐标x就完全不确定，即不可能把粒子固定。2)不确定关系完全是由于微观粒子的波粒二象性所决定的，与所用仪器的精密程度和测量技术无关。事实上因为波粒二象性，使得粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。3)不确定关系给出了经典理论适用的界限。4)我们无法用轨道的概念来描述微观粒子的运动。2qp二、能量和时间的不确定性关系2/tE2/p讨论：凡是经典力学中共轭的动力学量之间都有不确定关系，如动量与坐标、角动量与角坐标等等。不确定关系来源于物质的波粒二象性,对微观物体位置的恰当描述是说它处在某一位置的几率,而它可能出现的空间中有一个几率分布,这是波函数的几率解释例3：氢原子核外电子不可能有确定的轨道例4：谱线的自然宽度3.653.013715114.12//121keVAkeVamchcacmhpxhppo4/12/tthtE例5：fs光谱的脉宽与频谱的关系4/1其它：束缚粒子的平均动能、原子的稳定性（杨福家P88）§3.3波函数及其统计解释一、自由粒子的波函数二、非自由粒子的波函数三、波函数的物理意义四、波函数的性质一、自由粒子的波函数经典波的描述（平面单色波）AXvBrnyzCO由粒子的波函数应该也用平面单色波表示)(2cosnort写成复数形式：)(20)(2trkirktioeekhphE，又，)()(EtprioEtrpioee这就是自由粒子的波函数。对非自由粒子，由于受外场作用