一维随机变量及其分布.

第二章随机变量及其分布二、分布函数的概念一、随机变量的概念三、例题讲解第2.1节一维随机变量及其分布四、小结..)(),(,)(,}.{,XXXXE简记为为随机变量称上的单值实值函数这样就得到一个定义在与之对应有一个实数果对于每一个如它的样本空间是是随机试验设1.随机变量的定义定义2.1随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,,η,ζ,….等表示.一、随机变量的概念(1)概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,因此为了方便有力地使用分析手段研究随机现象,就需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时,就建立起了随机变量的概念.因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.2.说明随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,;因此具有随机性.由于试验的各个结果的出现具有一定的统计规律,因此随机变量的取值也有一定的统计规律.(3)随机变量的取值具有随机性但又有一定的统计规律随机变量是一个函数,但它与普通的一元函数有着本质的差别,普通一元函数是定义在实数集的子集上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量与普通的函数不同实例1掷一枚硬币,观察出现的结果,共有两种情况:反面朝上正面朝上若用X表示掷一枚硬币一次出现正面的次数,则有反面向上时正面向上时01X则X是一个随机变量.实例2某人射击打靶，用X表示击中的环数，则X是一个随机变量。X的取值为0,1，2，3，…，10引入随机变量X后，就可以用关于随机变量X的关系式来描述随机事件。如上例中{打中i环}可表示为{X=i}{打中环数不超5}可表示为{X≤5}等.一般地,{X≤a},{a≤X≤b},{X=x},{Xx}等均为随机事件.二、分布函数的概念为了对随机变量（randomvariable）给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数的概念.1.分布函数的定义设X是一个r.v，称)()(xXPxF)(x为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-,x]的概率.———|——xxX对任意实数x1x2，随机点X落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1Xx2}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到较全面的描述.由定义，F(x)是r.vX取值不大于x的概率.);,(,1)(0)1(xxF);(),()()2(2121xxxFxF证明21xx由},{}{21xXPxXP得).()(21xFxF故}{1xX},{2xX},{)(11xXPxF又},{)(22xXPxF2.分布函数的性质(单调不减性)()lim()1xFFx(3)()lim()0;xFFx},{)(xXPxF0}{lim)(limxXPxFxxxoxo说明,越来越小时当x,}{的值也越来越小xXP有时因而当,x,{},(,],(,).xPXxXxxX同样当增大时的值也不会减小而当时必然落在内lim()lim{}1.xxFxPXx所以).(),()(lim)4(000xxFxFxx即任一分布函数处处右连续.10.,1,,,0,,0,0)(21221211ppxxxxxpxxpxxFxo)(xF1x2x1p2p1反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.如是某随机变量的分布函数重要公式),()(}{)1(aFbFbXaP).(1}{)2(aFaXP证明(1)},{}{}{bXaaXbX因为,}{}{bXaaX},{}{}{bXaPaXPbXP所以)()(}{aXPbXPbXaP故).()(aFbF(2)由于}{}{aXaX所以)(1)(aXPaXP)(1aF三、例题讲解.,,,,{)(,的值求常数为常数其中函数为其分布在整个实轴上取值已知随机变量例BAxxBeAxFXx00001.1)(AF由分布函数的性质知解.1,10)0(BABAF于是有由分布函数的右连续性例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与靶心的距离.试求随机变量X的分布函数.解,0时当x,}{是不可能事件xXP,20时当x.,}0{2是常数kkxxXP,1}20{XP由,14k得.41k即.4}0{2xxXP因而;0}{)(xXPxF于是m2x于是}{)(xXPxF,2时当x故X的分布函数为.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF}0{XP}0{xXP.42x}{)(xXPxF.1其图形为一连续曲线}.{)(xXPxF3.分布函数的性质(4个性质)2.随机变量分布函数的概念四、小结1.随机变量的概念);,(,1)(0)1(xxF);(),()()2(2121xxxFxF(单调不减性)()lim()1xFFx(3)()lim()0;xFFx).(),()(lim)4(000xxFxFxx