§24.6实数与向量相乘(1)

1§24.6实数与向量相乘（1）普陀区课题组教学目标：1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法．2．对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；并能联系已学过的几何知识，正确地用已知向量表示与它平行的向量．3．在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的数学思想．教学重点：实数与向量相乘的表示方法和画图方法．教学难点：向量在几何中的运用．教学过程：教师活动学生活动设计意图一、复习引入问1：我们在八年级时学习过一类新的量，——向量，请同学们回忆一下，什么叫向量？问2：什么是相等向量、相反向量？问3：我们还学习过向量的加法运算，记得向量加法的多边形法则吗？二、新课学习1、探索正整数、整数、有理数与向量相乘问：?naaaa个…（其中n为正整数）我们知道，几个相同的数连加的运算是乘法，那么几个相同的向量连加，能否像几个相同的数连加一样，把它表示为乘法运算的形式呢？探索：已知非零向量a，对于n个a相加是否有类似的结果？（1）naaaa个……？师：（通过课件操作演示）答1：既有大小，又有方向的量叫做向量．答2：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等向量．方向相反且长度相等的两个向量叫做相反向量．答3：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量为起点，最后一个向量的终点为终点的向量．答：na．表示n个a相加，即数n与a相乘．答：na．n个a的和，表示数n与a的积．通过对向量的一些相关概念及运算法则的复习，为本课的学习做好铺垫．从数的乘法切入，引导学生进行类比，探讨数与向量相乘的运算．2根据向量加法运算的法则，可知na与a的方向相同，且na的长度是a长度的n倍，即naaaana个……．（2）()()()()naaaa个……？（3）如图，__OAOB？归纳：一般地，设n为正整数，a为向量，（1）na表示n个a相加；（2）na表示n个a相加．（3）当m为正整数时，nam表示与a同向且长度为nam的向量．2、实数与向量相乘的运算基于以上认识，我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：问1：设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的结果是什么？师：我们把积记作ka．答：na．答：nOAOBm．答1：所得的积是一个向量．利用图形直观地解释．通过讨论和归纳，为引进实数与向量相乘的运算确立认知基础．3注意：（1）书写时，规定应把实数写在向量前面并省略乘号；（2）不要将表示向量的箭头写在数字上面．问2：对于ka，它的长度和方向，与a的关系？练习：（课后练习2）以非零向量a为参照，分别说出向量4a、-35a、2a的方向和长度．问3：ka与a有怎样的位置关系？【小结】1、实数k与向量a相乘的结果ka仍是一个向量．2、ka与a的关系：位置关系：ka∥a数量关系：kaka答2：（1）当0k，且0a时，ka的长度：kakaka的方向：00kkaakkaa时，与同方向时，与反方向（2）当0k或0a时，那么0ka．答：4a与向量a方向相同，长度为4a；53a与向量a方向相反，长度为53a；22aa与向量a方向相同，长度为2a．答3：ka∥a．ka与a的方向和大小的探究渗透了“数形结合”的思想．对k的范围的讨论，也渗透着分类讨论的数学思想．通过练习，加深对ka所表达意义的理解．4例1：已知非零向量a，求作5,3,2aa并指出他们的长度和方向．解：在平面内任取一点O，作OAa．在射线OA上，取52OBOA，则52OBa．在射线OA的反向延长线上，取3OCOA，则3OCa.师：无理数与向量相乘时，通常对这个无理数取它的近似值．练习：（课后练习1）已知非零向量a，求作：（1）74a；（2）2a.3、实数与向量相乘的运用例2：已知在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O．设ADaBAb，，试用向量a或b表示向量OEOF、，并写出图中与向量OE相等的向量．OHFGEBACD分析：问1：请将已知条件标在图中．答：52a与a方向相同，长度为52a；3a与a方向相反，长度为3a．学生独立完成．答1：例题1是根据实数与向量相乘的意义画图，让学生通过操作活动，体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．例题2和例题3是实数与向量相乘的初步运用，要引导学生初步认识两个平行向量的代数表示形式．5问2：EG、FH将ABCD分成了四个小的平行四边形，边在数量上有什么关系？问3：所求向量OEOF、与已知向量有什么关系？问4：与OE相等的向量如何寻找？例3：已知点D、E分别在ABC的边AB、AC上，DE∥BC，7AD=4AB，试用向量BC表示向量DE．问1：根据已知条件中的平行，可以得到什答2：12AEAD，12FABA答3：OE与FA同方向，且长度相等；OF与AE反方向，长度相等．答4：方向相同，长度相等．图中可找出五个．解：1122OEFABAb；1122OFEAADa．与OE相等的向量有：BF、FA、GO、CH、HD．答1：比例线段，即DEADBCAB．通过分析图中一个向量与已知向量所具有的平行关系和长度关系，把这个向量表示为一个实数与已知向量相乘的积．实数与向量相乘的运用，主要是在平面几何中的应用，让学生体会实数与向量相乘的定义，能ABECDBACD6么？问2：将7AD=4AB这个等积式转化为比例式？问3：DE与BC的方向如何？解：∵DE∥BC，∴47DEADBCAB（三角形一边的平行线性质定理）．得47DEBC．∵DEDE4477BCBC，DE与BC同向．∴47DEBC．【小结】根据一个向量与已知向量所具有的平行关系和长度关系，可以把这个向量表示为一个实数与已知向量相乘的积．实数与向量相乘的定义，既能体现几何图形中的位置关系又能体现数量关系．三、巩固练习如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点．设BGa，BFb，试用向量a、b表示向量FH、DC和BD．OHFGEBACD答2：47ADAB．答3：DE与BC同向．解：22FHBCBGa；DCABBA22BFb．22BDBCCDab．体现几何图形中的位置关系和数量关系．例2、例3学生只需写出正确的结论即可．7四、课堂小结本节课主要学习了什么，有何收获？教师补充：实数与向量相乘的定义，既能体现几何图形中的位置关系又能体现数量关系．五、布置作业练习册24.6（1）预设：1、一般地，设n为正整数，a为向量（1）na表示n个a相加；（2）na表示n个a相加．（3）当m为正整数时，nam表示与a同向且长度为nam的向量．2、ka与a的关系：位置关系：ka∥a数量关系：kaka梳理知识点，培养学生归纳的能力．