二次函数与图像压轴题及参考答案

联考·数学试卷·第1页（共13页）二次函数与图像1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OAOBOAOB、（）的长分别是方程2430xx的两根，且45DAB°．（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值．联考·数学试卷·第2页（共13页）2、如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．ECByPAox联考·数学试卷·第3页（共13页）3、已知抛物线)0(2acbxaxy与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C。如果21xx、是方程062xx的两个根（21xx），且△ABC的面积为215。（1）求此抛物线的解析式；（2）求直线AC和BC的解析式；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线my（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。联考·数学试卷·第4页（共13页）4．如图，抛物线y=–12x2+bx+c与x轴分别相交于点A（–2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。OHFPMNCBAyx联考·数学试卷·第5页（共13页）二次函数与图像答案1、如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OAOBOAOB、（）的长分别是方程2430xx的两根，且45DAB°．（1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值．解：（1）解方程2430xx得13xx或，而OAOB，则点A的坐标为(10)，，点B的坐标为(30)，．过点D作1DDx轴于1D，则1D为AB的中点．1D的坐标为(10)，．又因为11452DABADDD°，．D的坐标为(12)，．令抛物线对应的二次函数解析式为2(1)2yax．抛物线过点(10)A，，则042a，得12a．故抛物线对应的二次函数解析式为21(1)22yx．（或写成21322yxx）联考·数学试卷·第6页（共13页）（2）90CAADDAC，°．又14545DABCAD°，°．令点C的坐标为()mn，，则有1mn．点C在抛物线上，21(1)22nm．化简得2450mm．解得51mm，（舍去）．故点C的坐标为(56)，．（3）由（2）知62AC，而22AD，2245DCADAC．过A作AMCD．1122ACADDCAM，2465545AM．ADCAPDAPCSSS△△△，12111222ACADAPdAPd．1224245244565ddAPAM≤．即此时12dd的最大值为45．2、如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y，得210x解得1x令0x，得1y∴A(1,0)B(1,0)C(0,1)（2）∵OA=OB=OC=1∴BAC=ACO=BCO=45图1ECByPAox联考·数学试卷·第7页（共13页）∵AP∥CB，∴PAB=45过点P作PEx轴于E，则APE为等腰直角三角形，令OE=a，则PE=1a∴P(,1)aa∵点P在抛物线21yx上∴211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）∴PE=3∴四边形ACBP的面积S=12AB•OC+12AB•PE=112123422(3)假设存在∵PAB=BAC=45∴PAAC∵MGx轴于点G，∴MGA=PAC=90在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=2在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=32设M点的横坐标为m，则M2(,1)mm①点M在y轴左侧时，则1m(ⅰ)当AMG∽PCA时，有AGPA=MGCA∵AG=1m，MG=21m即211322mm解得11m（舍去）223m（舍去）(ⅱ)当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：1m（舍去）22m∴M(2,3)GM图3CByPAoxGM图2CByPAox联考·数学试卷·第8页（共13页）②点M在y轴右侧时，则1m(ⅰ)当AMG∽PCA时有AGPA=MGCA∵AG=1m，MG=21m∴211322mm解得11m（舍去）243m∴M47(,)39(ⅱ)当MAG∽PCA时有AGCA=MGPA即211232mm解得：11m（舍去）24m∴M(4,15)∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为(2,3)，47(,)39，(4,15)3、已知抛物线)0(2acbxaxy与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C。如果21xx、是方程062xx的两个根（21xx），且△ABC的面积为215。（1）求此抛物线的解析式；（2）求直线AC和BC的解析式；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线my（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。联考·数学试卷·第9页（共13页）解：（1）解方程062xx，得3221xx，∴A（-2，0），B（3，0）由抛物线与y轴的正半轴交于点C，∴C（0，c）且c05||215||||21ABcABSABC，即215521c∴c=3，C（0，3）将A、B、C三点的坐标代入抛物线cbxaxy2中，得30330)2()2(22ccbacba解得32121cba∴抛物线的解析式是321212xxy（2）设直线AC的解析式为)0(111kbxky∵点A（-2，0），C（0，3）在直线AC上，302111bbk解得32311bk∴直线AC的解析式为323xy设直线BC的解析式为)0(222kbxky∵点B（3，0），C（0，3）在直线BC上303222bbk解得3122bk∴直线BC的解析式为3xy（3）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m）联考·数学试卷·第10页（共13页）由（1），知|AB|=5，|OC|=3∵点P不与点A、C重合∴点E（0，m）不与点O、C重合∴0m3由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，|PQ|=|PR1|=|OE|=m∵PQ//AB，∴△CPQ∽△CAB||||||||OCECABPQ，即335mm解得815m)815()815(，，，QPxQxP∵点P在直线AC上，815323Px解得)81543(43，，PxP点)043(1，R过点Q作xQR2轴于R2，则∠R2QR=90°同理可求得)81589(89，，QxQ∴点)089(2，R验证：815)43(89||PQ，815|8150|||1PR90||||11PQRPRPQ，又815|8150|||2QR90||||22QPRQRPQ，)089()043(21，、，RR是满足条件的点4．如图，抛物线y=–12x2+bx+c与x轴分别相交于点A（–2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P.（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；联考·数学试卷·第11页（共13页）②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。OHFPMNCBAyx联考·数学试卷·第12页（共13页）联考·数学试卷·第13页（共13页）