胡不归问题

第1页（共25页）2018年05月25日187****4779的初中数学组卷评卷人得分一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）评卷人得分二．填空题（共1小题）3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米第2页（共25页）的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）评卷人得分三．解答题（共5小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．5．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；第3页（共25页）（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆第4页（共25页）B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．第5页（共25页）2018年05月25日187****4779的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【分析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．【解答】解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，第6页（共25页）∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为s．故答案为．第7页（共25页）【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD=2﹣y，CD==，∴设t=+，等式变形为：t+y﹣=，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2=y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1=0，第8页（共25页）△=（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y=，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t=+=（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以==3，所以=DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以=，即=，所以OD=，所以点D的坐标应为（0，）．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．二．填空题（共1小题）3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．第9页（共25页）【解答】解：如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，由已知条件AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知AC==15千米．则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，BD==km，设走的行驶时间为y，则y=+．整理为关于x的一元二次方程得3x2+（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．因为x必定存在，所以△≥0．即（160y﹣120）2﹣4×3×（1200﹣6400y2）≥0．化简得102400y2﹣38400y≥0．解得y≥，即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．故答案为：．【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．三．解答题（共5小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D第10页（共25页）（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，第11页（共25页）此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，第12页（共25页）∵F（，t），EF2=EB2，∴（）2+（t+）2=（）2，解得t=或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤【