信号与系统王明泉科学出版社第二章习题解答

第2章线性时不变连续系统的时域分析2.6本章习题全解2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为)(tFS，求外加牵引力)(tFS与刚体运动速度)(tv间的关系。题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力kF与位移x成正比，即kFkx又()()txtvd所以，()()()tkFtkxtkvd刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()fFtfvt根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得()()()()tsdFtfvtkvdmvtdt整理得22()()()()sdddmvtfvtkvtFtdtdtdt2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(tis，试列出电流)(tiL及1R上电压)(1tu为输出响应变量的方程式。题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()CLSititit（1）根据电容特性，()()CCditCutdt（2）由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()CCLLdutRitLitRitdt（3）将21()()()()CLLCdutLitRitRitdt代入（2）得2212()()()()CLLCddditLCitRCitRCitdtdtdt（4）()()()CSLititit代入（4）得，22112()()()()()()SLLLSLddddititLCitRCitRCitRCitdtdtdtdt整理得，21212()11()()()()()LLLSSRRRddditititititdtLdtLCLdtLC（5）将111()()(()())CSLutitRititR，即11()()()LSutititR代入（5）得21121112111()()()()11(())(())(())()()SSSSSutRRututRddditititititdtRLdtRLCRLdtLC整理得，221211211122()()()()()()SSRRutRRdddututRititdtLLCdtLdt2.3某连续系统的输入输出方程为)(')(4)('3)(2txtytyty已知)()(tutx，1)0(y,1)0('y，试计算)0(y和)0('y值。解：将输入代入系统方程可得ttytyty)(4)('3)(2采用冲激函数匹配法求)0(y和)0('y方程右端的冲激函数项最高阶数为()t，设tubtaty，则有：tuattytuaty,，将其代入原系方程，得ttuattuatubta4322所以21a100231210210yyyy2.4已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下，)(3)()(4)(4)(22txtxdtdtytydtdtydtd，1)0(y，2)0(y，)()(tuetxt,试求其完全响应。解：（1）求齐次解tyh特征方程为：0442特征根为：221所以，thetCCty221（2）求特解typtptpetyAtAety220：特解为：代入原方程得：设特解为（3）全响应ttpheetCCtytyty2221将()()tfteut代入系统方程得ttuetytydtdtydtdt)(2)(4)(4)(22（1）,10030,1001,)1(,:yyyyyatuattytuatytubtaty得将其代入式则设将初始条件代入ttpheetCCtytyty2221得：3,121CC所以全响应为：0,2312teettytytyttph2.5已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22txtxdtdtytydtdtydtd，当激励为)()(tuetxt时，系统的完全响应为tteetty22)32()(，0t。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。解：由全响应得初始条件1)0(y，3)0(y（1）求零输入响应)(tyzi特征方程为0232，特征根为1，2所以tzitzizieCeCty221)(tzitzizieCeCty2212)(代入初始条件1)0(y，3)0(y，解得51ziC，42ziC所以，0,45)(2teetyttzi（2）求零状态响应)(tyzs0,2)22()45(]2)32[()()()(222teeteeeettytytyttttttzizs（3）2.6已知某线性时不变系统的方程式为0)(2)(3)(ttxtytydtd试求系统的冲激响应h(t)。解：方程右端的冲激函数项最高阶数为()t，设tubtath，则有：tuath，将其代入原系方程，得6,2ba02220,0220033tethAhtAethhhtth得，代入将：而方程的齐次解为2.7若描述系统的微分方程为)(2)(21)(2)(3)(''txtxtytyty试求系统的阶跃响应。解：由题可知：tueethAAAAhAAheAeAthaaaathahhbhhbatuathtubtathtuctbtathttthththtttt2323-1210--22101,20232100210021)1(,,1221232212121221212所以：，所以齐次解：特征根为：，的齐次方程为：又知所以：得：将其代入方程所以：由冲激匹配法设：阶跃响应：dueedhtgtt2322.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中)1()(1tth，)3()()(2tututh，)1()()(tututx,试求该系统的冲激响应)(th。题图2.8解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解322111111112111tututututututututttththththth2.9设系统的微分方程表示为)()(6)('5)(tuetytytyt，求使完全响应为)(tuCet时的系统起始状态_)0(y和_)0('y，并确定常数C。解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：tueeetppptppptytptypptttzs32221213212112132111165则零状态响应为：又由原微分方程知特征根为：3,221所以：03221teAeAtyttzi213200210021,1,2121212121213232211AAyyAAyyAACtueeetueAeAtytytueCtyzizitttttzszit所以起始状态：所以：全响应为：2.10已知某连续系统的微分方程为)(6)('2)(6)('5)(txtxtytyty若系统的初始条件1)0(y和0)0('y，输入信号)()1()(tuetxt，求系统的零输入响应)(tyzi，零状态响应)(tyzs和完全响应)(ty。（1）零输入响应)(tyzi满足方程0)(6)(5)(tytytyzizizi其0值1)0()0()0(yyyzizi0)0()0()0(yyyzizi方程特征根21，31，故零输入响应tzitzizieCeCty3221)(将初始值代入上式及其导数，得1)0(21ziziziCCy032)0(21ziziziCCy由上式解得31ziC，22ziC，所以0,23)(32teetyttzi（2）零状态响应)(tyzs是初始状态为零，且)()1()(tuetxt时，原微分方程的解，即)(tyzs满足方程)()1(6)](2)([2)(6)(5)(tuettuetytytyttzszszs即)(4)()64()(6)(5)(ttuetytytytzszszs及初始状态0)0()0(zszsyy。先求)0(zsy和)0(zsy，由于上式等号右端含有)(t，令)()()(0trtatyzs积分(从到t)得)()(1trtyzs)()(2trtyzs将)(tyzs、)(tyzs和)(tyzs代入微分方程可求得4a。对以上三式等号两端从0到0积分，并考虑到0)(000dttr，0)(001dttr，可求得4)0()0(ayyzszs0)0()0(zszsyy解上式，得4)0(zsy，0)0(zsy。对于0t,微分方程可写为64)(6)(5)(tzszszsetytyty不难求得其齐次解为tzitzieCeC3221，其特解为12te。于是有12)(3221ttzitzizseeCeCty将初始值代入上式及其导数，得03)0(21zizizsCCy4232)0(21zizizsCCy由上式可求得31ziC，02ziC，所以系统的零状态响应为0,123)(2teetyttzs（3）全响应)(ty0,1220,12323)()()(3232teeteeeetytytyttttttzszi2.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为)(te时，其全响应为)]()]2sin(2[)(31tutetyt；当激励为)(2te时，其全响应为)]()]2sin(2[)(32tutetyt求：(1)初始条件不变，当激励为)(0tte时的全响应)(3ty，0t为大于零的实常数。(2)初始条件增大1倍，当激励为)(5.0te时的全响应)(4ty。解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响应与系统的输入呈线性时不变关系。设3111()()()[2sin(2)]()tzsziytytytetut（1）则根据零状态响应线性可得3211()2()()[2sin(2)]()tzsziytytytetut（2）联立（1）、（2）得31()[sin(2)]()tzsytetut31()3()tziyteut（1）初始条件不变，