[超详细版]复变函数与积分变换复习提纲

1复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：zxiy=+，,xy是实数,()()Re,Imxzyz==.21i=-.注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示1）模：22zxy=+；2）幅角：在0z≠时，矢量与x轴正向的夹角，记为()Argz（多值函数）；主值()argz是位于(,]pp-中的幅角。3）()argz与arctanyx之间的关系如下：当0,xargarctanyzx=；当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzxpp⎧≥=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；4）三角表示：()cossinzziqq=+，其中argzq=；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：izzeq=，其中argzq=。(二)复数的运算1.加减法：若111222,zxiyzxiy=+=+，则()()121212zzxxiyy±=±+±2.乘除法：1）若111222,zxiyzxiy=+=+，则()()1212122112zzxxyyixyxy=-++；()()()()112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyxxyyyxyxizxiyxiyxiyxyxy+-++-===+++-++。2）若121122,iizzezzeqq==,则()121212izzzzeqq+=；2()121122izzezzqq-=3.乘幂与方根1）若(cossin)izzizeqqq=+=，则(cossin)nnninzzninzeqqq=+=。2）若(cossin)izzizeqqq=+=，则122cossin(0,1,21)nnkkzziknnnqpqp++⎛⎞=+=-⎜⎟⎝⎠L（有n个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()wfz=，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2．复初等函数1）指数函数：()cossinzxeeyiy=+，在z平面处处可导，处处解析；且()zzee′=。注：ze是以2ip为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：ln(arg2)Lnzzizkp=++(0,1,2)k=±±L（多值函数）；主值：lnlnargzziz=+。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnzz′=；注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaaea=≠；(0)bbLnzzez=≠注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1bbzbz-′=。4）三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz---+====sin,coszz在z平面内解析，且()()sincos,cossinzzzz′′==-注：有界性sin1,cos1zz≤≤不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数,22zzzzeeeeshzchz---+==；3shz奇函数，chz是偶函数。,shzchz在z平面内解析，且()(),shzchzchzshz′′==。（四）解析函数的概念1．复变函数的导数1）点可导：()0fz′=()()000limzfzzfzzΔ→+Δ-Δ；2）区域可导：()fz在区域内点点可导。2．解析函数的概念1）点解析：()fz在0z及其0z的邻域内可导，称()fz在0z点解析；2）区域解析：()fz在区域内每一点解析，称()fz在区域内解析；3）若()fz在0z点不解析，称0z为()fz的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,fzuxyivxy=+在zxiy=+可导⇔(),uxy和(),vxy在(),xy可微，且在(),xy处满足CD-条件：,uvuvxyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂此时，有()uvfzixx∂∂′=+∂∂。2．函数解析的充要条件：()()(),,fzuxyivxy=+在区域内解析⇔(),uxy和(),vxy在(),xy在D内可微，且满足CD-条件：,uvuvxyyx∂∂∂∂==-∂∂∂∂；此时()uvfzixx∂∂′=+∂∂。注：若()(),,,uxyvxy在区域D具有一阶连续偏导数，则()(),,,uxyvxy在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,uv具有一阶连续偏导且满足CR-条件时，函数()fzuiv=+一定是可导或解析的。3．函数可导与解析的判别方法41）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以()()(),,fzuxyivxy=+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数()fz是以z的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1．复变函数积分的概念：()()1limnkkcnkfzdzfzx→∞==Δ∑∫，c是光滑曲线。注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）()()1ccfzdzfzdz-=-∫∫（1c-与c的方向相反）；2）()()()()[],,cccfzgzdzfzdzgzdzababab+=+∫∫∫是常数；3）若曲线c由1c与2c连接而成，则()()()12cccfzdzfzdzfzdz=+∫∫∫。3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()cccfzdzudxvdyivdxudy=-++∫∫∫；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：()()zzttab=≤≤，其中a对应曲线c的起点，b对应曲线c的终点，则()()[]()cfzdzfztztdtba′=∫∫。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则()0cfzdz=∫Ñ2．复合闭路定理：设()fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，12,,ncccL是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,ncccL为边界的区域全含于D内，则①()cfzdz∫Ñ()1,knkcfzdz==∑∫Ñ其中c与kc均取正向；②()0fzdzΓ=∫Ñ，其中Γ由c及1(1,2,)ckn-=L所组成的复合闭路。3．闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数()fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续5变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使()fz不解析的奇点。4．解析函数沿非闭曲线的积分：设()fz在单连域B内解析，()Gz为()fz在B内的一个原函数，则()()()212112(,)zzfzdzGzGzzzB=-∈∫说明：解析函数()fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设()fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，0z为c内任意一点，则()()002cfzdzifzzzp=-∫Ñ6．高阶导数公式：解析函数()fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为()()()0102(1,2)()!nncfzidzfznzznp+==-∫LÑ其中c为()fz的解析区域D内围绕0z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7．重要结论：12,010,0()ncindznzap+=⎧=⎨≠-⎩∫Ñ。（c是包含a的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法1）若()fz在区域D内处处不解析，用一般积分法()()()[]cfzdzfztztdtba′=∫∫2）设()fz在区域D内解析，lc是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0cfzdz=∫Ñlc是D内的一条非闭曲线，12,zz对应曲线c的起点和终点，则有()()()()2121zczfzdzfzdzFzFz==-∫∫3）设()fz在区域D内不解析l曲线c内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cnncfzdzifzzzfzidzfzzznpp+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩∫∫ÑÑ（()fz在c内解析）6l曲线c内有多于一个奇点：()cfzdz∫Ñ()1knkcfzdz==∑∫Ñ（ic内只有一个奇点kz）或：()12Re[(),]nkkcfzdzisfzzp==∑∫Ñ（留数基本定理）l若被积函数不能表示成()1()nofzzz+-，则须改用第五章留数定理来计算。（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)xyj在D内有二阶连续偏导数且满足22220xyjj∂∂+=∂∂，(,)xyj为D内的调和函数。2．解析函数与调和函数的关系l解析函数()fzuiv=+的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。l两个调和函数u与v构成的函数()fzuiv=+不一定是解析函数；但是若,uv如果满足柯西—黎曼方程，则uiv+一定是解析函数。3．已知解析函数()fz的实部或虚部，求解析函数()fzuiv=+的方法。1）偏微分法：若已知实部(),uuxy=，利用CR-条件，得,vvxy∂∂∂∂；对vuyx∂∂=∂∂两边积分，得()uvdygxx∂=+∂∫（*）再对（*）式两边对x求偏导，得()vudygxxxx∂∂∂⎛⎞′=+⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫（**）由CR-条件，uvyx∂∂=-∂∂，得()uudygxyxx∂∂∂⎛⎞′=-+⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫，可求出()gx；代入（*）式，可求得虚部()uvdygxx∂=+∂∫。2）线积分法：若已知实部(),uuxy=，利用CR-条件可得vvuudvdxdydxdyxyyx∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂，故虚部为()()00,,xyxyuuvdxdycyx∂∂=-++∂∂∫；7由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,xy与(),xy是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部(),uuxy=，根据解析函数的导数公式和CR-条件得知，()uvuufziixyxy∂∂∂∂′=+=-∂∂∂∂将此式右端表示成z的函数()Uz，由于()fz′仍为解析函数，故()()fzUzdzc=+∫（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部.u（九）复数项级数1．复数列的极限1）复数列{}{}nnnaiba=+（1,2n=L）收敛于复数abia=+的充要条件为lim,limnnnnaabb→∞→∞==（同时成立）2）复数列{}na收敛⇔实数列{},{}nnab同时收敛。2．复数项级数1）复数项级数0()nnnnnaibaa∞==+∑收敛的充要条件是级数0nna∞=∑与0nnb∞=∑同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim0nna→∞=。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幂级数的敛散性1．幂级数的概念：表达式00()nnnczz∞=-∑或0nnncz∞=∑为幂级数。2．幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数0nnncz∞=∑在00z≠处收敛，那么对满足0zz的一切z，该级数绝对收敛；如果在0z处发散，那么对满足0zz的一切z，级数必8发散。2）幂级数的收敛域—圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。l比值法如果1lim0nnnccl+→∞=≠，则收敛半径1Rl=；l根值法lim0nncl→∞=≠，则收敛半径1Rl=；l如果0l=，则R=∞；说明在整个复平面上处处收敛；如果l=∞，则0R=；说明仅在0zz=或0z=点收敛；注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如20nnncz∞=∑）3．幂级数的性质1）代数性质：设00,nnnnnnazbz∞∞==∑∑的收敛半径分别为1R与2R，记()12min,RRR=，则当zR时，有000()nnnnnnnnnnabzazbzabab∞∞∞===+=+∑∑∑（线性运算）0110000()()()nnnnnnnnnnnazbzabababz∞∞∞-====+++∑∑∑L（乘积运算）2）复合性质：设