第一章1.2《应用举例》(共21张ppt)(同步课件2)

1.2应用举例（3）本节主要掌握三角形的面积公式，会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.本课件以计算两海岛间的距离的视频提出问题，并复习正弦定理和余弦定理引入新课。本节课采用教师讲解与学生探究相结合的教学方法，主要解决两类问题：一、与三角形有关的计算；二、与三角形有关的证明。例题1、2、3分别给出不同情况下如何求面积，变式1是例题的巩固，采用两种方法。例4是实际问题，加强数学与实际生活的联系。例5体现利用定理证明与三角形有关的问题。变式3采用多种方法，开阔学生的思路。问题：你知道正弦定理和余弦定理都能解决那些问题吗？1.求距离、求高度、求角度。2.求三角形的面积。3.与三角形有关的证明。复习12RCcBbAa2sinsinsinCabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222正弦定理：余弦定理：如图，在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb和hc.(1)你能用△ABC的边角分别表示ha，hb，hc吗？提示:ha＝bsinC＝csinB.hb＝csinA＝asinC.hc＝bsinA＝asinB.三角形面积公式(2)你能用边a与高ha表示△ABC的面积吗？提示:S△ABC＝12aha＝12absinC＝12acsinB.结论：已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则：S＝＝＝.12bcsinA12casinB12absinC提示：方法一：设△ABC外接圆的半径为R，则三角形面积S＝12absinC＝12abc2R＝abc4R；(1)已知三角形ABC的三边长a，b，c，便能计算该三角形的面积吗？(至少有两种不同思路)方法二：可以用余弦定理计算cosC，再得出sinC，利用S＝12absinC可求．你还有其他的方法吗？正弦、余弦定理与三角形的面积提示：用余弦定理简单．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2×a×33cos30°，整理得a2－9a＋18＝0，∴a＝3或a＝6.(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求a边用正弦定理简单，还是用余弦定理简单？有什么技巧？当三角形中已知两边和其中一边的对角时，(1)若由已知只求内角，则用正弦定理合适；(2)若由已知只求边，则用余弦定理合适．思考：你觉得正弦定理和余弦定理分别适用于哪些情况？例1:△ABC中，已知C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．思路探究:(1)已知AB，AC，∠C能直接用公式求面积吗？为什么？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？解:由正弦定理ABsinC＝ACsinB，∴sinB＝ACsinCAB＝2sin120°23＝12.典例展示所以△ABC的面积S＝12AB·AC·sinA＝12·23·2·sin30°＝3.因为ABAC，所以CB，∴B＝30°，∴A＝30°.例2：在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;（2）已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;解：（1）应用𝑆=12𝑐𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵,得S=12×23.5×14.8×𝑠𝑖𝑛148.5≈90.9(𝑐𝑚)（2）根据正弦定理，𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，𝑐=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵，S=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=12𝑏2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵又𝐴=180°−(𝐵−𝐶)=51.5°∴S=12×3.162×𝑠𝑖𝑛65.8°𝑠𝑖𝑛51.5°sin62.7°≈4.0(𝑐𝑚2)例3：已知三角形三边的长分别为a＝2cm，b＝3cm，c＝4cm，求三角形的面积S.解析：根据余弦定理得：cosB＝c2＋a2－b22ca＝42＋22－322×4×2＝1116，sinB＝1－cos2B＝31516，S＝12acsinB，得：S＝12×2×4×31516＝3154(cm2)．栏目链接解析：解法一：∵sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝22，∴cos(A－45°)＝12.又0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°∴S△ABC＝12AC·ABsinA＝12×2×3×2＋64＝34(2＋6)．变式1：在△ABC中，sinA＋cosA＝22，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．∴tanA＝tan(45°＋60°)＝1＋31－3＝－2－3.又sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝2＋64.解法二：∵sinA＋cosA＝22，①∴(sinA＋cosA)2＝12.∴2sinAcosA＝－12.变式1：在△ABC中，sinA＋cosA＝22，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．①＋②得：sinA＝2＋64，①－②得：cosA＝2－64.∴tanA＝sinAcosA＝－2－3.(以下同法一)∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝32，∴sinA－cosA＝62.②P16例8.在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？ACBa=68b=88c=127解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，.38.2840).(38.28406578.06812721,sin21.6578.07532.01sin,7532.068127288681272cos222222222mmSBcaSBcabacB答：这个区域的面积是得应用:求证,中、在5例ABC;sinsinsin)1(222222CBAcba(2)𝑎2+𝑏2+𝑐2=2(𝑏𝑐cos𝐴+𝑐𝑎cos𝐵+𝑎𝑏cos𝐶).证明三角形中的边角关系恒等式：全部转化为边的关系，或者全部转化为角的关系。变式2：在△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.法一由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，则asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB，所以左边＝asinB－asinC＋bsinC－bsinA＋csinA－csinB＝(asinB－bsinA)＋(bsinC－csinB)＋(csinA－asinC)＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．思路探究：（1）能否直接去括号推证左边？（2）可以把边化成角吗？（3）可以把角化为边吗？法二由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC所以左边＝2RsinA(sinB－sinC)＋2RsinB(sinC－sinA)＋2RsinC(sinA－sinB)变式2：在△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.＝2R(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝2R×0＝0所以原等式成立．法三由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R变式2：在△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.所以左边＝ab2R－c2R＋bc2R－a2R＋ca2R－b2R＝12R(ab－ac＋bc－ab＋ac－bc)＝12R×0＝0.所以原等式成立．三角形中的边角关系余弦定理三角形的探究三角形的求解与三角形有关证明2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC正弦定理RCcBbAa2sinsinsin解决问题课后练习P181.2.3课后习题课外阅读P21