二次函数的最大值与最小值

二次函数:cbxaxy2(a0)xa(2)2ababac442xabac442ab2a0a00yx0yabx2函数的最大值和最小值的概念记作ymin=f(x0)如果不等式f(x)f(x0),对于定义域内任意x都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x0)的最大值。记作ymax=f(x0)对于定义域内任意x都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x0)的最小值。如果不等式f(x)f(x0)设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，例1、求下列二次函数的最大值或最小值32)1(2xxyxxy42)2(2x0y解：xy(2)14x0y解：22)1(2xy当x=1时，2miny4maxy当x=1时，x=1x=114RxRx1-2例2、求下列函数的最大值与最小值)13(23)1(2xxyx492)23(2xy414)23(2x1,323时当23x时当1x231maxy2x0y解：-3123x414miny解：6)5(512xy]1,3[5函数y=f(x)在[-3，1]上为减函数时当3x526maxy时当1x56miny0xy]1,3[1251)2(2xxxy5x1-3]2,1[1221)3(2xxxy3)2(212xy解：]2,1[2函数y=f(x)在[-1，2]上为增函数x0y时当1x25miny时当2x5maxy-122x计算闭区间端点的函数值，并比较大小。2、判断取得最值时的自变量是否在闭区间内。3、1、配方，求二次函数的顶点坐标。例3：上的最大值与最小值在区间求函数]1,1[)(32Raaxxy解：32axxy43)2(22aax2ax对称轴为时即当212)1(aa上单调递增，在]11[32axxy时当1xay4min时当1xay4maxyx0-112ax时即当00021)2(aa时当2ax432minay时当1xay4max时即当02120)3(aa时当2ax432minay时当1xay4max时即当212)4(aa上单调递减在]1,1[32axxy时当1xay4max时当1xay4minx0y1-1x0y-11x0y-11例4:和最小值上的最大值在求函数]1,[322ttxxy解:2)1(3222xxxy1x对称轴时即当011)1(tt上单调递减在]1,[322ttxxy时当tx322maxtty时即且当21011111)2(tttt时当tx322maxtty时当1x2minyx0y1tt+1x0ytt+1当x=t+1时ymin=t2+2时即且当1211111)3(tttt时当1x2miny时当1tx22maxty时当1)4(t上单调递增在]1,[322ttxxy22maxtyx0ytt+1x0y1tt+1当x=t时ymin=t2-2t+3当x=t+1时