概率论与数理统计重点总结及例题解析

1概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%,12%。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/6,P(B|A1)＝0.08，P(B|A2)＝0.09，P(B|A3)＝0.12。由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09由贝叶斯公式：P(A1|B)＝P(A1B)/P(B)=4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4】2练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件iA={从第i箱取的零件}，iB={第i次取的零件是一等品}（1）P(1B)=P(1A)P(1B|1A)+P(2A)P(1B|2A)=52301821501021（2）P(1B2B)=194.02121230218250210CCCC,则P(2B|1B)=)()(121BPBBP=0.485二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X的概率密度函数为othersxxxf020)(求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1X3}；（4）X的分布函数F(x)（同步47页三、2）解：(1)由201)(xdxdxxf得到λ＝1/2(2)3421)(220dxxdxxxfEX(3)31214321)(}31{xdxdxxfxP(4)当x0时，xdtxF00)(3当0x2时，xxxtdtdxdttfxF00241210)()(当x2时，F（x）=1故2001()02412xFxxxx练习：已知随机变量X的密度函数为othersxbaxxf010)(且E(X)=7/12。求：（1）a,b；（2）X的分布函数F(x)（同步49页三、2）练习：已知随机变量X的密度函数为othersxxxf0102)(求：（1）X的分布函数F(x)；（2）P{0.3X2}（同步45页三、3）三、离散型随机变量和分布函数例：设X的分布函数F(x)为：31318.0114.010)(xxxxxF,则X的概率分布为（）。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量[答案：P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]4练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。[答案：当x＜1时，F(x)=0;当1≤x＜2时，F(x)=0.2;当2≤x＜3时，F(x)=0.5;当3≤x时，F(x)=1四、二维连续型随机向量例：设X与Y相互独立，且X服从3的指数分布，Y服从4的指数分布，试求：（1）),(YX联合概率密度与联合分布函数；（2）)1,1(YXP；（3）),(YX在343,0,0),(yxyxyxD取值的概率。解:（1）依题知其他,00,3)(3xexfxX其他,00,4)(4yeyfyY所以),(YX联合概率密度为其他,00,0,12),(43yxeyxfyx当0,0yx时，有)1)(1(12),(430043yxxysteedsedtyxF所以),(YX联合分布函数其他,0;0,0),1)(1(),(43yxeeyxFyx（2）)1)(1()1,1()1,1(43eeFYXP；（3）3104330434112),(edyedxDYXPxyx练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是othersyxeyxfyx00,025001),()(501求：（1）关于X的边缘密度函数fX(x)；（2）P{X≥50，Y≥50}5（同步52页三、4）五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。161818121321jipxxpyyyXY[答案：131216143418381411218124121321jipxxpyyyXY]六、协差矩阵例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为9664V计算随机向量（X＋Y,X－Y）的协差矩阵（课本116页26题）解：DX=4,DY=9,COV(X,Y)=6D(X＋Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1COV（X＋Y,X－Y）=DX-DY=-56故（X＋Y,X－Y）的协差矩阵15525练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为2122212121V计算随机向量（9X＋Y,X－Y）的协差矩阵（课本116页33题）解：E(9X+Y)=9EX+EY＝9μ1+μ2E(X－Y)=EX－EY＝μ1－μ2D(9X＋Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22D(X－Y)=DX+DY－2COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22COV（9X＋Y,X－Y）=9DX-DY－8COV(X,Y)=9σ12－8ρσ1σ2－σ22然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设XU(0,2),则Y=2X在(0,4)内的概率密度)(yfY（）。[答案填：y41]解：XU(0,2)1,02()20,xfxothers，72(){}{}{}()yYyFyPYyPXyPyXyfxdx，求导出)(yfY11()()()22XXfyfyyy=y41（04y）练习：设随机变量X在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=Xe2的概率密度f(y)。[答案：当42eye时，f(y)=y21，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.]八、中心极限定理例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。（同步46页四、1）解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64)P{60X100}=P{-2.5(X-80)/82.5}=2φ(2.5)－1＝0.9876练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。（课本117页41题）8九、最大似然估计例：设总体X的概率密度为其他,010,)1()(xxxf其中未知参数1，nXXX,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数),,2,1;10()1()(1nixxLinii对此式取对数，即：niixnL1ln)1ln()(ln且niixndLd1ln1ln令,0lndLd可得niixn1ln1ˆ，此即的极大似然估计量。例：设总体X的概率密度为)0,0(,0,00,)(1axxeaxxfaxa据来自总体X的简单随机样本),,,(21nXXX，求未知参数的最大似然估计量。（同步39页三、3）解：由0,00,)(~1xxeaxxfXaxa得总体X的样本),,,(21nXXX的似然函数niainiainxniainxxaeaxxxxLai1111121]exp[)(),,,,(再取对数得：9niiniaixaxanL11)ln()1()ln(ln再求Lln对的导数：niaixaandLd1ln令0ln1niaixaandLd，得niaixn1所以未知参数的最大似然估计量为niaixn1。练习：设总体X的密度函数为)0(010),(1othersxxxfXX11,,XX22,,……,,XXnn是取自总体XX的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）十、区间估计总总体体XX服服从从正正态态分分布布NN((μμ,,σσ22)),,XX11,,XX22,,……,,XXnn为为XX的的一一个个样样本本1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间3：求σ2置信度为1-α的置信区间(,)XuXunn))1(,)1((nSntXnSntX)S)1n(,S)1n(()1n(2122)1n(22210例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622sx。求该校女生平均身高的95％的置信区间。解：)1(~ntnSuXT,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102sxn查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为)74.165,60.159())9(,)9((05.005.0nstxnstx例：从总体X服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。解：因为)1(~)1(222nSn,所以2的95%的置信区间为:))1()1(,)1()1((2122222nSnnSn,其中S2＝0.07,70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222nn,所以))1()1(,)1()1((2122222nSnnSn=)70.207.09,023.1907.09(=（0.033,0.233）例：已知某种材料的抗压强度),(~2NX,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469.11(1)求平均抗压强度的点估计值;(2)求平均抗压强度的95%的置信区间;(3)若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间;(4)求2的点估计值;(5)求2的95%的置信区间;解:(1)5.457ˆXu0(2)因为~(1)XuTtnSn,故参数的置信度为0.95的置信区间是:)}1(),1({22ntnSXntnSX,经计算457.50x,s=35.276,n=10,查自由度为9的分位数表得,0.05(9)2.262t,故{(1),(1)}SSXtnXtnnn=}262.21022.3550.457,262.21022.