中线与中位线(培优)

直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效.例1如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，OA=OC,求证：OB=OCOCAB基本结论：①若OA=OB，则OA=OB=OC,②若OA=OC，则OB=OC，③若OB=OC，则OA=OC.例2（1）如图1，已知△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，点O是AB的中点，求证：OC=OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？OCABDOCABD基本结论：若OA=OB，则OA=OB=OC=OD例3如图，∠DBC=∠BCE=90°，M为DE的中点，求证：MB=MCCMDBE例4如图,在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点，求证：（1）OM=12CE；（2）OB=2OMOFMABCE例5如图，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD.DE⊥BD,DE交BC于E.求证：CD=12BE.EDCAB例6如图，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,点M,N分别是BC，DE的中点，（1）求证：MN⊥DE；（2）连ME，MD，若∠A=60°，求MNDE的值.NDEMABC例7△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DE=2OE.（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为.（用α表示）DEOABCODEACB图1图2图1图2构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题.题型一利用角平分线和垂直构造中位线例1如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME.EMABCF题型二倍长构造三角形中位线例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点，求证：ME=12CFEMABCF题型三取中点构造三角形中位线例3如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=2MN.NEMFBCA题型四连接两点构造三角形中位线例4如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D,点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DFEDFCBA例5已知∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为，位置关系为.（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的△CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为.ECDABMPNCABEDMPNCEABD图1图3图2例7如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.DMABC例5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.（提示：取DE的中点F，连接AF）FECDBA