构造函数证明二元不等式

构造函数证明二元不等式一、变相同结构造函数分析单调性例：已知m、n都是正整数，且,1nm证明：mnnm)1()1(已知,,Rba求证.111bbaababa已知函数xxxxfln)(，)()()(afxxfxg，其中)(af表示函数)(xf在ax处的导数，a为正常数．（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21,xx，且21xx，证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnfnln2ln)1(1ln13ln12ln1．（2）（法1）对任意的正实数21,xx，且21xx，取1xa，则),(12xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(21221111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(11212xfxxxfxf……①；取2xa，则),0(21xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(22222111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(21212xfxxxfxf……②．综合①②，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx．二、换元后作差构造函数证明已知0ba,求证：22)(2nbnabababll已知函数xxxxfln)(，)()()(afxxfxg，其中)(af表示函数)(xf在ax处的导数，a为正常数．（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21,xx，且21xx，证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnfnln2ln)1(1ln13ln12ln1．对任意的正实数21,xx，且21xx，有)1(21fxxf，)1(12fxxf．由)1(21fxxf，得1ln121212xxxxxx，即0)ln(ln12212xxxxx，所以0)ln(ln)()()()(1221211212xxxxxxfxxxfxf．故)()()()(11212xfxxxfxf．……①；由)1(12fxxf，同理可证)()()()(21212xfxxxfxf综合①②，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx．三、主元法构造函数例．（全国）已知函数xxxgln)(设ba0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag.证明：在)2(2)()(bagbgag中以b为主变元构造函数,设)2(2)()()(xagxgagxF,则2lnln)]2([2)()('''xaxxagxgxF.当ax0时，0)('xF,因此)(xF在),0(a内为减函数.当ax时,0)('xF,因此)(xF在),(a上为增函数.从而当ax时,)(xF有极小值)(aF.因为,,0)(abaF所以0)(bF,即.0)2(2)()(bagbgag又设2ln)()()(axxFxG.则)ln(ln2ln2lnln)('xaxxaxxG.当0x时,0)('xG.因此)(xG在),0(上为减函数.因为,,0)(abaG所以0)(bG,即2ln)()2(2)()(abbagbgag已知函数xxxxfln)(，)()()(afxxfxg，其中)(af表示函数)(xf在ax处的导数，a为正常数．（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21,xx，且21xx，证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnfnln2ln)1(1ln13ln12ln1．（2）（法1）对任意的正实数21,xx，且21xx，取1xa，则),(12xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(21221111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(11212xfxxxfxf……①；取2xa，则),0(21xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(22222111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(21212xfxxxfxf……②．综合①②，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx．例设Ra，函数)11(,)(2xaxaxxf，若1a，证明45)(xf。解析：本题若直接证明，难度较大；但若采用反客为主法，变更主元，即将函数式看作是关于a的函数，即令,)1()(2xaxag则问题转化为证明当11a时，45)(ag。⑴当1x时，1)(ag，适合45)(ag。⑵当11x时，,)1()(2xaxag)11(a是关于a的一次函数，且012x，函数)(agy在1,1a是减函数，则)1()()1(gagg；欲证45)(ag，即证45)(45ag；只需证45)1(g且45)1(g成立。又)1(gxx124545)21(2x；)1(gxx124545)21(2x。因此原结论成立。“反客为主”已知函数xxxxfln)(，)()()(afxxfxg，其中)(af表示函数)(xf在ax处的导数，a为正常数．（1）求)(xg的单调区间；（2）对任意的正实数21,xx，且21xx，证明：)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx；（3）对任意的*Nn，且2n，证明：nnfnln2ln)1(1ln13ln12ln1．（2）（法1）对任意的正实数21,xx，且21xx，取1xa，则),(12xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(21221111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(11212xfxxxfxf……①；取2xa，则),0(21xx，由（1）得)()(21xgxg，即)()()()()()(22222111xgxfxxfxfxxfxg，所以，)()()()(21212xfxxxfxf……②．综合①②，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx．对任意的正实数21,xx，且21xx，有)1(21fxxf，)1(12fxxf．由)1(21fxxf，得1ln121212xxxxxx，即0)ln(ln12212xxxxx，所以0)ln(ln)()()()(1221211212xxxxxxfxxxfxf．故)()()()(11212xfxxxfxf．……①；由)1(12fxxf，同理可证)()()()(21212xfxxxfxf综合①②，得)()()()()()(11212212xfxxxfxfxfxx．