14.3空间直线和平面的位置关系

14.3空间直线与平面的位置关系直线和平面垂直1、直线和平面垂直的定义直线和平面垂直如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.A平面的垂线直线的垂面垂足唯一性:(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直.(不同于过一点作直线与另一条直线垂直)(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.(3)平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足.A直线和平面垂直，记作l2、判定直线和平面垂直的方法（1）根据定义（2）直线和平面垂直的判定定理定理2:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.两条相交直线AmnB垂直于两条相交直线垂直平面(线线垂直则线面垂直)例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：a//b，a求证；bab证明：设m是内的任意一条直线mmamambba//bm3.直线与平面垂直的性质定理性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.bab已知:求证:,,baba//4.几个距离1)点和平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间的距离叫做这个点到这个面的距离2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.lPAPA3)平面和平面的距离：两个平面平行，在其中一个平面上任取一点到另一平面的距离叫做这两个平面的距离.PA4)异面直线的距离思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离例２：设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1①图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线③求异面直线A1B与C1C的距离②直线BA1与C1C所成角的大小④求异面直线A1B与B1C1的距离450a2a2例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.(1)求点A和C’的距离；(2)求点A到棱B’C’的距离；(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；(4)求异面直线AD和A’B’的距离．A’B’D’ADC’BC5.射影的有关概念:1).点在平面上的射影:自一点P向平面引垂线,垂足叫做这点在平面上的射影.(这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段)PA2)平面的斜线:如果一条直线和平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.PB3).斜线在平面上的射影:过斜线上斜足以外一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线,叫做斜线在这个平面上的射影.PAB4)斜线段在平面上的射影:垂足与斜足间的线段.5)斜线上任意一点在平面内的射影,一定在斜线的射影上.PAB6).如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.AFFCBABC探究1：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角PABC提示：比较∠PBA与∠PBC的大小关系结论:⑴射影相等的两条斜线段也相等；射影较长的斜线段也较长。⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影也较长⑶垂线段比任何一条斜线段都短。探究2:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,斜线段与射影长度之间的关系?ABCO⑴OB=OCAB=ACOBOCABAC⑵AB=ACOB=OCABACOBOC⑶OAAB，OAACABCO一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）直线与平面所成的角规定:直线和平面垂直＝直线和平面所成的角是直角直线和平面平行或在平面内＝直线和平面所成的角是0°思考：•直线与平面所成的角θ的取值范围是：。20•斜线与平面所成的角θ的取值范围是：。20（１）求直线A1B和平面ABCD所成的角的大小；（２）求直线D1B和平面ABCD所成的角的大小．例４：设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1回顾定义：一条直线与一个平面没有公共点就说这条直线与这个平面平行。即如果a与没有公共点，则a∥（a=）直线与平面平行直线与平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.baA已知：a，b，a∥b求证：a∥直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.已知:a∥,a,=b求证:a∥bαβab例题1.已知E、F分别是空间四边形四条边AB、AD的中点，求证：EF//平面BCD.2.求证:如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,那么这条直线在此平面内.BACDEF练习:1.选择题:(1)直线m与平面平行的充分条件是()A.直线m与平面内一条直线平行;B.直线m与平面内无数条直线平行;D.直线m与平面没有公共点;C.直线m与平面内所有直线平行;(2)过直线l外两点,作与l平行的平面,这样的平面()A.能作无数个;B.只能作一个;C.不能作出;D.上述情况都有可能.2.如图,正方体AC1中,点N在BD上,点M在B1C上且CM=DN,求证:MN//平面AA1B1B.D1A1BDCB1C1ANMFE3.空间四边形ABCD被一平面所截，E、F、G、H分别在AC、CB、BD、DA上，截面EFGH是矩形.(1)求证:CD//平面EFGH;(2)求异面直线AB、CD所成的角.AEDCBGFH4.如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB、PC的中点,平面PAD平面PBC=l求证:（1）BC//l（2）MN//平面PADEABDCPMNl5.如图，ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM=NF，求证：MN∥平面BCEPBFEDCANM6.已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证:AP//GHOBHGMDPCA